11教材解读
一、正弦定理
1．正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即
abc．si
Asi
Bsi
C
注：①正弦定理指出了任意三角形中三条边与对应角的正弦之间的一个关系式．正弦定
理非常好地描述了任意三角形中边与角的一种数量关系．②正弦定理
abcabbc可看作是三个方程，，si
Asi
Bsi
Csi
Asi
Bsi
Bsi
C
ac的合并，每个方程都含有四个量，知其中三个可求第四个量．三个等式的比值si
Asi
C
是一个定值，这个定值就是△ABC外接圆的直径2R，即有2．正弦定理的变形R
isAb，2
RisBc2
isR，C变形（1）：a2
abc2R．si
Asi
Bsi
C
；；
abc变形（2）：
isA
is，B
is，C2R2R2R
变形（3）：a
b
isA
icsAcsi
Basi
Basi
Cbsi
C，b，c；
isB
isCsi
Csi
Asi
Asi
Bbc∶
iAs
is
B∶isC∶变形（4）：a∶；abca变形（5）：
is
iAs
isB
is
isC
isAbBcC2R．
注：利用这些变形公式便能实现同一个三角形中边与角的互化，从而有利于问题的转
达化与解决．3．正弦定理的应用（1）已知两角和任一边，求其他两边和另一角；（2）已知两边及其中一边的对角，求另一边及其他两角．
二、余弦定理
1．余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．即①bca2cacosB②222cab2abcosC③注：①余弦定理指出了三角形的三条边与其中的一个角之间的关系；②余弦定理中，涉及到四个量，利用方程思想，知其中的任意三个量可求出第四个量，于是可将余弦定理的
222
a2b2c22bccosA
表达式如a22accosBc2b20看作是以a为未知数的一元二次方程．这样就可以使用一元二次方程的有关知识，使得余弦定理的应用就更为广泛、灵活．2．余弦定理的变形（1）定理的特例：是指当某一内角取特殊值时的特殊形式．主要有：①c2a2b2C90（勾股定理及其逆定理）；注：勾股定理可以看作是余弦定理的特例，余弦定理可以看作是勾股定理的推广．
f②c2a2b2abC60；③c2a2b2abC120；④c2a2b23abC30；⑤c2a2b23abC150；⑥c2a2b22abC45；⑦c2a2b22abC135．
b2c2a2a2c2b2a2b2c2．cos，B，cosC2bc2ac2ab注：①应用以上推论，可r