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f上海市建平中学20172018学年高一上期末数学试题（无答案）word
19、（10分）“秃发”是一种常见的毛发疾病，随着发病人群年龄结构的年变化，逐渐引起了社会的广泛关注。一个人出生时头发数量约为100000根，数学徐老师建立了“秃发”函
数模型作预估：一个人xxN岁时的头发根数为fx100000ax50000，其中ax
称为“脱发指数”
（1）杜老5岁时有74375根头发，请依据模型求出杜老师的“脱发指数”a的值
（2）徐老师的学生认为“秃发”函数模型中有两个缺点：①头发的根数应该为整数；②头发的根数不能为负数徐老师感觉很有道理，将模型作了两处修正，请写出修正后（1）问中杜老师的“秃发”函数模型，并求出杜老师几岁时头发最多
20、（12
分）设函数
f
x

2x2x1
ab
（实数
ab为常数）
（1）当ab1时，证明fx在R上单调递减
（2）若b2，且fx为偶函数，求实数a的值
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（3）小金同学在求解函数
f
x

2x2x1
ab
的对称中心时，发现函数
f
x
是一个复合函数，
设gxxa，hx2x，则fxghx，显然gx有对称中心，设为m
，2xb
hx有反函数h1x，若ghx的对称中心为h1mh1
，请问小金的做法是否正
确？如果正确，请给出证明，并直接写出当b2a时fx的对称中心；如果错误，请举出
反例，并用正确的方法直接写出当b2a时fx的对称中心
21、（14分）设函数fx的反函数为f1x，若存在函数gx使得对函数fx定义域内的任意x都有gfxf1x，则称函数gx为函数fx的“I
verse”函数
（1）判断下列哪个函数是函数fxlog2x的“I
verse”函数并说明理由
①g1x22x；②g2x22x
（2）设函数fx存在反函数f1x，证明函数fx存在唯一的“I
verse”函数的充要条件是函数fx的值域为R（3）设函数fxcxd存在反函数f1x，函数gx为fx的一个“I
verse”函数，
axb记g
1xgg
xxN，其中g1xgx，若对函数fx定义域内的任意x都有g2018xfx，求所有满足条件的函数fx的解析式
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