专题十一四边形的综合应用
针对四川中考特殊四边形的综合应用1．导学号149525022017广元预测在ABCD中，点P和点Q是直线BD上不重合的两个动点，AP∥CQ，AD＝BD1如图①，求证：BP＋BQ＝BC；2请直接写出图②，图③中BP，BQ，BC三者之间的数量关系，不需要证明；3在1和2的条件下，若DQ＝1，DP＝3，则BC＝__2或4__．
解：1∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠ADB＝∠CBD，∵AP∥CQ，∴∠APQ＝∠CQB，∴△ADP≌△CBQ，∴DP＝BQ，∵AD＝BD，AD＝BC，∴BD＝BC，∵BD＝BP＋DP，∴BC＝BP＋BQ2图②，BQ－BP＝BC，理由：∵AP∥CQ，∴∠APB＝∠CQD，∵AB∥CD，∴∠ABD＝∠CDB，∴∠ABP＝∠CDQ，∵AB＝CD，∴△ABP≌△CDQ，∴BP＝DQ，∴BC＝AD＝BD＝BQ－DQ＝BQ－BP；图③，BP－BQ＝BC，理由：同理得△ADP≌△CBQ，∴PD＝BQ，∴BC＝AD＝BD＝BP－PD＝BP－BQ3图①，BC＝BP＋BQ＝DQ＋PD＝1＋3＝4，图②，BC＝BQ－BP＝PD－DQ＝3－1＝2，∴BC＝2或4
2．导学号149525032016南平已知在矩形ABCD中，∠ADC的平分线DE与BC边所在的直线交于点E，点P是线段DE上一定点其中EP＜PD．
1如图1，若点F在CD边上不与D重合，将∠DPF绕点P逆时针旋转90°后，角的两边PD，PF分别交射线DA于点H，G
①求证：PG＝PF；②探究：DF，DG，DP之间有怎样的数量关系，并证明你的结论；
2拓展：如图2，若点F在CD的延长线上不与D重合，过点P作PG⊥PF，交射线DA于点G，你认为1中DF，DG，DP之间的数量关系是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，请写出它们所满足的数量关系式，并说明理由．
解：
1①∵∠GPF＝∠HPD＝90°，∠ADC＝90°，∴∠GPH＝∠FPD，∵DE平分∠ADC，∴∠
fPDF＝∠ADP＝45°，∴△HPD为等腰直角三角形，∴∠DHP＝∠PDF＝45°，在△HPG和△DPF
∠PHG＝∠PDF，
中，∵PH＝PD，
∴△HPG≌△DPFASA，∴PG＝PF；②结论：DG＋DF＝2DP，由①
∠GPH＝∠FPD，
知，△HPD为等腰直角三角形，△HPG≌△DPF，∴HD＝2DP，HG＝DF，∴HD＝HG＋DG＝DF＋DG，∴DG＋DF＝2DP2不成立，数量关系式应为：DG－DF＝2DP，如图，过点P作PH⊥PD交射线DA于点H，∵PF⊥PG，∴∠GPF＝∠HPD＝90°，∴∠GPH＝∠FPD，∵DE平分∠ADC，且在矩形ABCD中，∠ADC＝90°，∴∠HDP＝∠EDC＝45°，∴△HPD为等腰直角三角形，∴∠DHP＝∠EDC＝45°，且PH＝PD，HD＝2DP，∴∠GHP＝∠FDP＝180°－45°＝
∠GPH＝∠FPD，135°，在△HPG和△DPF中，∠GHP＝∠FDP，∴△HPG≌△DPF，∴HG＝DF，∴DH＝DG－HG
PH＝PD，
＝DG－DF，∴DG－DF＝2DP
3．导学号149525042017自贡预测如图①，AD为等腰直角△ABCr