23、（本大题满分18分）本大题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满6分，第3小题满8分．已知函数yfxx∈D，如果对于定义域D内的任意实数x，对于给定的非零常数m，总存在非零常数T，恒有fxTmfx成立，则称函数fx是D上的m级类增周期函数，周期为
T．若恒有fxTmfx成立，则称函数fx是D上的m级类周期函数，周期为T．
（1）已知函数fxxax是3∞上的周期为1的2级类增周期函数，求实数a的取值范
2
围；函数，当x∈01时，fx2x，求实数m的取值范围；（2）已知T1，yfx是0∞上m级类周期函数，且yfx是0∞上的单调递增
（3）下面两个问题可以任选一个问题作答，问题（Ⅰ）6分，问题（Ⅱ）8分，如果你选做了两个，我们将按照问题（Ⅰ）给你记分．（Ⅰ）已知当x∈04时，函数fxx24x，若fx是0∞上周期为4的m级类周期函数，且yfx的值域为一个闭区间，求实数m的取值范围；（Ⅱ）是否存在实数k，使函数fxcoskx是R上的周期为T的T级类周期函数，若存在，求出实数k和T的值，若不存在，说明理由．
（3）问题（Ⅰ）∵当x∈04时，有fx∈40，且fx4mfx，∴当x∈4
4
4
∈N时，有x4
∈04，进而fx4
∈40，
fxmfx4Lm
fx4
，即fxm
fx4
，
当0m≤1时，fx∈40；当m1时，fx∈44；当1m0时，fx∈44m；
当m1时，fx∈∞0；
当m1时，fx∈∞∞；
综上可知：1≤m0或0m≤1，从而，实数m的取值范围是1，U0，．01问题（Ⅱ）：由已知，有fxTTfx对一切实数x恒成立，即coskxTTcoskx对一切实数恒成立，当k≠0时，∵x∈R，∴kx∈R，kxkT∈R，于是coskx∈11，1当k0时，T1；
f又∵coskxkT∈11，故要使coskxTTcoskx恒成立，只有T±1，当T1时，coskxkcoskx得到k2
π，
∈Z且
≠0；当T1时，coskxkcoskx得到k2
ππ，即k2
1π，
∈Z；综上可知：当T1时，k2
π，
∈Z；当T1时，k2
1π，
∈Z．
2
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