第3讲
换元法在解题中的应用
方法精要一般而言，在数学问题中，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这种方法称为换元法．某些数学问题通过这种换元，往往可以暴露已知与未知之间被表面形式覆盖着的实质，发现解题途径．换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．换元法又称辅助元素法、变量代换法，其特点是通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，把条件与结论联系起来，把陌生的形式转变为熟悉的形式．高中数学中主要换元法有整体换元、三角换元、对称换元、均值换元等等．换元法应用广泛，如解方程、解不等式、证明不等式、求函数的值域、求数列的通项与和等，在解析几何中也有广泛的应用．
题型一换元法求函数的解析式例1已知f1－cosx＝si
2x，求fx．破题切入点通过引入参数，令1－cosx＝t，将原式转化为含有t的式子，从而得到函数fx的表达式，特别注意写出函数fx的定义域．解令1－cosx＝t，则t∈02，所以cosx＝1－t，所以ft＝si
2x＝1－cos2x＝1－1－t2＝－t2＋2t，所以fx＝－x2＋2x0≤x≤2．题型二换元法在不等式中的应用例2已知a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，求证：3a＋1＋3b＋1＋3c＋1≤32破题切入点换元法在不等式中的应用主要体现在不等式的证明中，把原不等式中的参数用
某一个或几个量表示，然后利用取值范围进行比较．证明设3a＋1＋3b＋1＋3c＋1＝k，kk再设3a＋1＝＋t1，3b＋1＝＋t2，33k3c＋1＝＋t3，其中t1＋t2＋t3＝0，3kkk∴3a＋1＋3b＋1＋3c＋1＝＋t12＋＋t22＋＋t32，333
fk2222即6＝＋kt1＋t2＋t3＋t21＋t2＋t333k2222＝＋t1＋t2＋t3，3k2∴6≥，解得k≤32，3∴3a＋1＋3b＋1＋3c＋1≤32题型三换元法在三角函数中的应用π例3已知函数y＝2＋2si
xcosx＋si
x＋cosx，x∈0，，求函数的最大值和最小值．2破题切入点题目中的未知量较多，解题时选择适当的三角函数式作为辅助未知量，可以利
用正弦与余弦之间的关系，设si
x＋cosx＝t，则2si
xcosx＝t2－1，把题目中较多的未知量通过换元用一个未知量表示，并根据这个未知量的范围解决最值问题．π解令si
x＋cosx＝t，因为x∈0，，2所以t∈1，2，由si
x＋cosx2＝t2得2si
xcosx＝t2－1，所以原函数变为y＝t2＋t＋1，t∈1，2，1因为y＝t2＋t＋1的对称轴是t＝－，2r