专题跟踪突破8
与圆有关的证明及计算
针对广西中考与圆有关的证明及计算1．2015贺州如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，AC平分∠BAD，AD⊥DC，垂足为D，OE⊥AC，垂足为E1求证：DC是⊙O的切线；2若OE＝3cm，AC＝213cm，求DC的长结果保留根号．
1连接OC，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵AC平分∠BAD，∴∠DAC＝∠OAC，∴∠DAC＝∠OCA，∴AD∥OC，∵AD⊥DC，∴OC⊥CD，∵OC为半径，∴CD是⊙O的切线2∵OE⊥
1AC，∴AE＝AC＝13cm，在Rt△AOE中，AO＝AE2＋OE2＝（13）2＋（3）2＝4cm，2
由1得∠OAC＝∠CAD，∠ADC＝∠AEO＝90°，∴△AOE∽△ACD，∴＝，即
OEAOCDAC
34＝，CD213
∴DC＝
39cm2
2．2015贵港如图，已知AB是⊙O的弦，CD是⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为E，且点E是OD的中点，⊙O的切线BM与AO的延长线相交于点M，连接AC，CM1若AB＝43，求AB的长；结果保留π2求证：四边形ABMC是菱形．
解：1连接OB，∵OA＝OB，E为AB的中点，∴∠AOE＝∠BOE，OE⊥AB，∵OE⊥AB，E为OD中点，∴OE＝OD＝OA，∴在Rt△AOE中，∠OAB＝30°，∠AOE＝60°，∠AOB＝120°，
12
12
12120π×48π长l＝＝1803
设OA＝x，则OE＝x，AE＝
3x，∵AB＝43，∴AB＝2AE＝3x＝43，解得x＝4，则AB的2
2由1得∠OAB＝∠OBA＝30°，∠BOM＝∠COM＝60°，∠AMB＝
30°，∴∠BAM＝∠BMA＝30°，∴AB＝BM，∵BM为圆O的切线，∴OB⊥BM，在△COM和△OC＝OB，BOM中，∠COM＝∠BOM，∴△COM≌△BOMSAS，∴CM＝BM，∠CMO＝∠BMO＝30°，∴CMOM＝OM，
＝AB，∠CMO＝∠MAB，∴CM∥AB，∴四边形ABMC为菱形
1
f3．2015百色已知⊙O为△ABC的外接圆，圆心O在AB上．1在图1中，用尺规作图作∠BAC的平分线AD交⊙O于D保留作图痕迹，不写作法与证明；2如图2，设∠BAC的平分线AD交BC于E，⊙O半径为5，AC＝4，连接OD交BC于F①求证：OD⊥BC；②求EF的长．
解：1图略2①如图2，∵AD平分∠BAC，∴∠DAC＝∠BAD，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠D，∴∠CAD＝∠D，∴AC∥OD，∴∠ACB＝∠OFB，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠
OFOBOF5OFB＝90°，∴OD⊥BC；②∵AC∥OD，∴＝，即＝，∴OF＝2，∴FD＝5－2＝3，在ACAB410Rt△OFB中，BF＝OB2－OF2＝21，∵OD⊥BC，∴CF＝BF＝21，∵AC∥OD，∴△EFD∽△EFFD3EF333321ECA，∴＝＝，∴＝，∴EF＝CF＝×21＝ECCA4CF7777
4．2015柳州如图，已知四边形ABCD是平行四边形，AD与△ABC的外接圆⊙O恰好相切于点A，边CD与⊙O相交于点E，连接AE，BE1求证：AB＝AC；2若过点A作AH⊥BE于H，求证：BH＝CE＋EH
1∵AD与r