2008年全国中考数学压轴题精选六全国中考数学压轴题精选六
51（08湖南郴州27题）（（本题满分10分）如图10，平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝10，BC边上的高AM4，E为BC边上的一个动点（不与B、C重合）．过E作直线AB的垂线，垂足为F．FE与DC的延长线相交于点G，连结DE，DF．．（1）求证：BEF∽CEG．（2）当点E在线段BC上运动时，△BEF和△CEG的周长之间有什么关系？并说明你的理由．（3）设BE＝x，△DEF的面积为y，请你求出y和x之间的函数关系式，并求出当x为何值时y有最大值，最大值是多少？
AFD
M
B
x
EG
C
图10
题解析）（1）因为四边形ABCD是平行四边形，所以ABDG1分（08湖南郴州27题解析）所以∠B∠GCE
∠G∠BFE
所以△BEF∽△CEG3分（2）△BEF与△CEG的周长之和为定值．4分理由一：过点C作FG的平行线交直线AB于H，因为GF⊥AB，所以四边形FHCG为矩形．所以FH＝CG，FG＝CH因此，△BEF与△CEG的周长之和等于BC＋CH＋BH由BC＝10，AB＝5，AM＝4，可得CH＝8，BH＝6，所以BC＋CH＋BH＝246分理由二：H由AB＝5，AM＝4，可知DA在Rt△BEF与Rt△GCE中，有：
EF
4343BEBFBEGEECGCCE，5555
1
B
F
MxEG
C
f所以，△BEF的周长是
1212BE，△ECG的周长是CE55
又BE＋CE＝10，因此BEF与CEG的周长之和是24．6分
43xGC10x551143622x10x5x2x8分所以yEFDG2255255655121配方得：yx2．256655时，y有最大值．9分所以，当x6121最大值为．10分6
（3）设BE＝x，则EF52（08湖南郴州28题）r