程为：x32y25224
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20已知函数fxl
x．（1）求函数gxfxx1的极值；（2）求函数hxfxxa（a为实常数）的单调区间；（3）若不等式x21fxkx12对一切正实数x恒成立，求实数k的取值
范围．11－x
解：（1）g（x）＝l
x－x＋1，g′（x）＝x－1＝x，当0＜x＜1时，g′（x）＞0；当x＞1时，g′（x）＜0，可得g（x）在（01）上单调递增，在（1，＋∞）上单调递减，
故g（x）有极大值为g（1）＝0，无极小值．（2）h（x）＝l
x＋x－a．当a≤0时，h（x）＝l
x＋x－a，h′（x）＝1＋1x＞0恒成立，
此时h（x）在（0，＋∞）上单调递增；当a＞0时，h（x）＝ll
xx＋－xx－＋aa，，x0≥＜ax，＜a．①当x≥a时，h（x）＝l
x＋x－a，h′（x）＝1＋1x＞0恒成立，
此时h（x）在（a，＋∞）上单调递增；②当0＜x＜a时，h（x）＝l
x－x＋a，h′（x）＝1x－1＝1－xx．当0＜a≤1时，h′（x）＞0恒成立，此时h（x）在（0，a）上单调递增；
f当a＞1时，当0＜x＜1时h′（x）＞0，当1≤x＜a时h′（x）≤0，所以h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，a）上单调递减．综上，当a≤1时，h（x）的增区间为（0，＋∞），无减区间；
当a＞1时，h（x）增区间为（0，1），（a，＋∞）；减区间为（1，a）．
（3）不等式（x2－1）f（x）≥k（x－1）2对一切正实数x恒成立，
即（x2－1）l
x≥k（x－1）2对一切正实数x恒成立．
当0＜x＜1时，x2－1＜0；l
x＜0，则（x2－1）l
x＞0；
当x≥1时，x2－1≥0；l
x≥0，则（x2－1）l
x≥0．
因此当x＞0时，（x2－1）l
x≥0恒成立．
又当k≤0时，k（x－1）2≤0，故当k≤0时，（x2－1）l
x≥k（x－1）2恒
成立．
下面讨论k＞0的情形．
当x＞0且x≠1时，（x2－1）l
x－k（x－1）2＝（x2－1）l
x－kxx＋－11．
设h（x）＝l
x－kxx＋－11（
x＞0且x≠1），hx12k
xx12
x221kx1．
xx12
记△＝4（1－k）2－4＝4（k2－2k）．
①当△≤0，即0＜k≤2时，h′（x）≥0恒成立，
故h（x）在（0，1）及（1，＋∞）上单调递增．
f于是当0＜x＜1时，h（x）＜h（1）＝0，又x2－1＜0，故（x2－1）h（x）＞0，
即（x2－1）l
x＞k（x－1）2．当x＞1时，h（x）＞h（1）＝0，又x2－1＞0，故（x2－1）h（x）＞0，即（x2－1）l
x＞k（x－1）2．又当x＝1时，（x2－1）l
x＝k（x－1）2．因此当0＜k≤2时，（x2－1）l
x≥k（x－1）2对一切正实数x恒成立．②当△＞0，即k＞2时，设x2＋2（1－k）x＋1＝0的两个不等实根分别为x1，x2（x1＜x2）．函数φ（x）＝x2＋2（1－k）x＋1图像的对称轴为x＝k－1r