复数问题的六种简求策略
复数是初等数学与高等数学的一个重要衔接点，它涉及到高中数学的很多分支，
是每年高考中必考的内容，为帮助同学们掌握这部分内容，本文介绍几种简求复
数题的常用方法，供参考。
一、特殊值法
对于含有参数范围的题目，可选定参数范围内一特值代入，进行估算，可排除干
扰支，确定应选支。
例1．当2＜m＜1时复数z3m2m1i在复平面上对应的点位于（）3
A．第一象限
B．第二象限C．第三象限D．第四象限
分析：由于2＜m＜1取m3，则z11i对应的点在第四象限，故选D。
3
4
44
二、运用特殊等式
记牢一些常用的特殊等式，如（1±i）2±2i，（1±3i）31等，有助于复数运22
算题的快速解决。例2．计算（1－i）6（13i）97
22
解：原式（1i）23（13i）96（13i）
22
22
（2i）3（－13i）3×32（13i）
22
22
8i（13i）－43－4i22
三、运用共轭复数的性质共轭复数的性质很多，如z为实数zz，z为纯复数zz，zzz2等，若能灵活运用，可简化解题。例3．设复数z满足z2，求z2z4的最大值和最小值。解析：由z2，得z2zz4，则z2z4z2zzzz（z1z）2（z1z，若设zabi（2≤a≤2，2≤b≤2），则z2z42abi1abi22a1。
f∴当
a
12
时，z2z4mi
0，当
a－2
时，z2－z4max10
四、两边同取模
如果一个复数等式中，一边能够表示成实部和虚部，采用两边取模后，可将虚数
问题转化为实数问题。
例4．设复数z满足关系式zz2i，那么z等于（）
A．3i4
B．3i4
C．3i4
D．3i4
分析：原关系式可化为z2zi，又zz且为实数，两边取模得
z2z21，解得z5，则z25i3i，故应选D。
4
44
五、运用整体思想
有些复数问题，若从整体上去观察、分析题设的结构特征，充分利用复数的有关
概念和性质，对问题进行整体处理，可得妙解。
例5．求同时满足下列条件的所有复数z①z10是实数，且1＜z10≤6，②z的
z
z
实部与虚部均为整数。
解析：观察给出式，可设μz10，则μ∈R，且1＜μ≤6，整理得z2z
μz100，
则△μ240＜0，由求根公式得z±402i由条件②知是整数，则μ2，
2
2
2
或4或6，当μ2时，z1±3i，当μ4时，z2±6i（不合题意，舍去），当μ6
时，z3±i故满足条件的复数z1±3i，或z3±i。六、活用复数的几何意义
在深刻理解复数几何意义的基础上，将复数问题转化为几何问题，借助几何图形的直r