2012年全国初中数学竞赛试题（正题）参考答案
一、选择题
1（甲）．C解：由实数a，b，c在数轴上的位置可知
，且
，
所以
．
1（乙）．B
解：
．
2（甲）．D
解：由题设知，
，
，所以

解方程组
得
所以另一个交点的坐标为（3，2）
注：利用正比例函数与反比例函数的图象及其对称性，可知两个交点关于原点对称，因此另一个交点的坐标为（3，2）
2（乙）．B
f解：由题设x2＋y2≤2x＋2y，得0≤因为均为整数，所以有
≤2
解得
以上共计9对

3（甲）．D
解：由题设知，
，所以这四个数据的平均数为
，
中位数为
，
于是

3（乙）．B
解：如图，以CD为边作等边△CDE，连接AE
f（第3（乙）题）
由于ACBC，CDCE，
∠BCD∠BCA∠ACD∠DCE∠ACD∠ACE，
所以△BCD≌△ACE，BDAE
又因为
，所以

在Rt△
中，
于是DE
，所以CDDE4
4（甲）．D
解：设小倩所有的钱数为x元、小玲所有的钱数为y元，可得
均为非负整数由题设
消去x得
2y－7
y4，
f2


因为
为正整数，所以2y－7的值分别为1，3，5，15，所以y的值只能为4，5，
6，11．从而
的值分别为8，3，2，1；x的值分别为14，7，6，7．
4（乙）．C
解：由一元二次方程根与系数关系知，两根的乘积为二次函数由于有的图象知，当都是正整数，所以于是共有7组时，
，故方程的根为一正一负．由，所以，即，1≤q≤2，此时都
，1≤q≤5；或符合题意．
5（甲）．D
解：掷两次骰子，其朝上的面上的两个数字构成的有序数对共有36个，其和除以4的余数分别是0，1，2，3的有序数对有9个，8个，9个，10个，所以
，因此
最大．
5（乙）．C
解：因为1后的乘积不变．
，所以每次操作前和操作后，黑板上的每个数加
设经过99次操作后黑板上剩下的数为，则
f，
解得
，
．
二、填空题
6（甲）．7＜x≤19
解：前四次操作的结果分别为
3x－2，33x－2－29x－8，39x－8－227x－26，327x－26－281x－80
由已知得
27x－26≤487，
81x－80＞487
解得7＜x≤19
容易验证，当7＜x≤19时，
≤487
≤487，故x的取值范围是
7＜x≤19．
6（乙）．7解：由已知可得
f．
7（甲）．8
解：连接DF，记正方形
的边长为2由题设易知△
∽△
，所以
，
由此得
，所以

（第7（甲）题）
在Rt△ABF中，因为
，所以
，
于是

f由题设可知△ADE≌△BAF，所以
，

于是
，
，

又
，所以

因为
，所以

7（乙）．
解：如图，设所以
的中点为
，连接
，则
．因为
，
，
．
f（第7（乙r