高等数学函数的极限知识点归纳整理引语：函数极限是高等数学最基本的概念之一，导数等概念都是在函数极限的定义上完成
的。1定义
设函数在点的某一去心邻域内有定义，如果存在常数A，对于任意给定的正数（无论它多么小），总存在正数，使得当x满足不等式时，对应的函数值都满足不等式：
那么常数A就叫做函数
当
时的极限，记作
2概念函数极限可以分成
以
的极限为例，fx在点
以A为极限的定义是：对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数
，使得当x满足不等式
时，对应的函数值fx都满足不等式：
，那么常数A就叫做函数fx当x→x。时的极限。3数列的极限形式（1种）和函数极限形式（6种）：
13
f
附课堂老师提到的相关概念和知识1“ε－N”定义需要的时刻是自变量从此刻开始往无穷大（小）的方向变化；
“ε－δ”定义需要的时刻是自变量从此刻开始往某一个点无穷接近的方向变化；
2去心邻域：在高等数学中，我们经常会用到一种特殊的开区间aδ，aδ，称这个开区间为点a的邻域，记为Ua，δ，即Ua，δaδ，aδ，称点a为邻域的中心，δ为邻域的半径。通常δ是较小的实数，所以，a的δ邻域表示的是a的邻近的点，如下图所示。
点a的邻域有时候，我们只考虑点a邻近的点，不考虑点a，即考虑点集xaδxa或axaδ，我们称这个点集为点a的去心的邻域，记为a，δ，即a，δxaδxa或axaδ，如下图所示。
3函数的有界和无界
点a的去心的邻域
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f
函数的有界性指的是函数值取值范围的有限性例如正弦函数fxsi
x取值范围是1到1是一个有限的范围因此可以说这个函数有界而yx这个函数的取值范围是R是一个无限的范围所以可以说这个函数无界用数学语言描述：存在M∈R使任意x∈fx的定义域都有fx≤M则称函数fx有界4有极限的函数必有界有界的函数不一定有极限解释：有极限说明它会趋于一个定值那肯定不会趋向无穷大所以必有界；而有界表示不会趋向无穷大但不一定会趋于一个定值可以在一些位置上来回波动比如1
一直在1和1之间波动没有极限再如limx→0）si
1x，它的极限不存在，但它有界si
1x的绝对值小于等于1。
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