xy
O
P（a，b）r
My
x
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思考：对于确定的角，这三个比值是否会随点P在的终边上的位置的改变而改变
呢？
显然，我们可以将点取在使线段OP的长r1的特殊位置上，这样就可以得到用直角
坐标系内的点的坐标表示锐角三角函数：
si
MPbcosOMata
MPb
OP
OP
OMa
思考：上述锐角的三角函数值可以用终边上一点的坐标表示那么角的概念推广以
后，我们应该如何对初中的三角函数的定义进行修改，以利推广到任意角呢？本节课就研究
这个问题——任意角的三角函数
二、探究新知
1探究结合上述锐角的三角函数值的求法我们应如何求解任意角的三角函数值
呢
显然我们只需在角的终边上找到一个点使这个点到原点的距离为1然后就可以类似
锐角求得该角的三角函数值了所以我们在此引入单位圆的定义在直角坐标系中我们称
以原点O为圆心以单位长度为半径的圆
2思考如何利用单位圆定义任意角的三角函数的定义
如图设是一个任意角它的终边与单位圆交于点Pxy那么
1y叫做的正弦记做si
即si
y；
（2）x叫做的余弦记做cos即cosx；
（3）y叫做的正切记做ta
即ta
yx0
x
x
注意当α是锐角时，此定义与初中定义相同（指出对边，邻边，斜边所在）；当α不是
锐角时，也能够找出三角函数，因为，既然有角，就必然有终边，终边就必然与单位圆有交
点Pxy，从而就必然能够最终算出三角函数值
3思考如果知道角终边上一点而这个点不是终边与单位圆的交点该如何求它的三角函数值呢
前面我们已经知道三角函数的值与点P在终边上的位置无关，仅与角的大小有关我
们只需计算点到原点的距离rx2y2那么si
ycosx
x2y2
x2y2
ta
y所以，三角函数是以为自变量以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函x
数，又因为角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系，故三角函数也可以看成实数为自变量的函数
4例题讲评
例1求5的正弦、余弦和正切值3
例2已知角的终边过点P034，求角的正弦、余弦和正切值
教材给出这两个例题，主要是帮助理解任意角的三角函数定义我也可以尝试其他方法
如例2设x3y4则r32425
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于是si
y4cosx3ta
y4
r5
r5
x3
5巩固练习
P15第123题
6探究请根据任意角的三角函数定义r