习题五
1求下列矩阵的特征值和特征向量：
1）

12
1
4

；2）


123
213
30
3

6
；3）

01
010
13
00

；4）

44
118
0
02

。
并说明哪些矩阵可以相似于对角形矩阵。
解：1）1123，特征值23。24
当2时，111，故属于2的特征向量为k11（k10）。
当3时，212，故属于3的特征向量为k22（k20）。
由于线性无关的特征向量个数为2，故可以对角化。
1232）21319，特征值019。
336
当0时，1111，故属于0的特征向量为k11（k10）。
当1时，2110
，故属于1的特征向量为
k2
（
2
k2

0
）。
当9时，3112，故属于9的特征向量为k33（k30）。
由于线性无关的特征向量个数为3，故可以对角化。
013）010112，特征值11。
10
当1时，1010，2101。故属于1的特征向量为
k11k22（k1k2不全为零）。
当1时，3101，故属于1的特征向量为k33（k30）。
由于线性无关的特征向量个数为3，故可以对角化。
3104）410122，特征值12。
482
当1时，13620，故属于1的特征向量为k11（k10）。
f当2时，2001，故属于2的特征向量为k22（k20）。
由于线性无关的特征向量个数为2，故不可以对角化。
2已知方阵A满足A23A2E0，求A的所有可能的特征值。
解：设是A的特征值，则有非零向量X满足AXX。于是A2X2X，A23A2EX232X0。因为X非零，所以2320。即A的特征值只能为1或2。3设是A的特征值，证明：
1）2是A2的特征值，i（i为正整数）是Ai的特征值；2）设f是多项式，则f是fA的特征值；
3）如果A可逆，则1是A1的特征值。证明：1）因为AXX，则A2XAXAX2X。
A3XA2X3X，依此类推，AiXiX，即i是Ai的特征值。2）由1）AiXiX（i为正整数），记fa0a1La
，则
fAXa0Ea1ELa
E
XfX，即f是fA的特征值。3）如果A可逆，对AXX两边左乘A1有：XA1X。又可逆矩阵的
特征值不为零（否则0EA0，与A可逆矛盾）。故1XA1X。
4设X1和X2是A的属于两个不同特征值的特征向量，证明X1X2不是A的
特征向量。
证明：由题意，设AX11X1，AX22X2，12，则X1X2线性无关。（反证）若X1X2是A的特征向量，则有：AX1X2X1X2。从而1X12X20。因为12，所以12不全为零，于是X1X2线性相关，矛盾。故X1X2不是A的特征r