解析几何中求参数取值范围的方法
近几年来，与解析几何有关的参数取值范围的问题经常出现在高考考试中，这类问题不仅涉及知识面广，综合性大，应用性强，而且情景新颖，能很好地考查学生的创新能力和潜在的数学素质，是历年来高考命题的热点和重点。学生在处理这类问题时，往往抓不住问题关键，无法有效地解答，这类问题求解的关键在于根据题意，构造相关的不等式，然后求出不等式的解。那么，如何构造不等式呢？本文介绍几种常见的方法：一、利用曲线方程中变量的范围构造不等式曲线上的点的坐标往往有一定的变化范围如椭圆x2a2y2b21上的点Pxy满足a≤x≤ab≤y≤b因而可利用这些范围来构造不等式求解另外也常出现题中有多个变量变量之间有一定的关系往往需要将要求的参数去表示已知的变量或建立起适当的不等式再来求解这是解决变量取值范围常见的策略和方法例1已知椭圆x2a2y2b21ab0AB是椭圆上的两点线段AB的垂直平分线与x轴相交于点Px00求证a2b2a≤x0≤a2b2a分析先求线段AB的垂直平分线方程求出x0与AB横坐标的关系再利用椭圆上的点AB满足的范围求解解设AB坐标分别为x1y1x2y2x1≠x2代入椭圆方程作差得y2y1x2x1b2a2x2x1y2y1又∵线段AB的垂直平分线方程为yy1y22x2x1y2y1xx1x22令y0得x0x1x22a2b2a2又∵AB是椭圆x2a2y2b21上的点∴a≤x1≤aa≤x2≤ax1≠x2以及a≤x1x22≤a∴a2b2a≤x0≤a2b2a例2如图已知△OFQ的面积为S且OFFQ1若12S2求向量OF与FQ的夹角θ的取值范围分析须通过题中条件建立夹角θ与变量S的关系利用S的范围解题解依题意有∴ta
θ2S∵12S2∴1ta
θ4又∵0≤θ≤π∴π4θp例3对于抛物线y24x上任一点Q点Pa0都满足PQ≥a则a的取值范围是Aa0Ba≤2C0≤a≤2D02p分析直接设Q点坐标利用题中不等式PQ≥a求解解设Qy024y0由PQ≥a得y02y024a2≥a2即y02y02168a≥0∵y02≥0∴y02168a≥0即a≤2y028恒成立又∵y02≥0而2y028最小值为2∴a≤2选B二、利用判别式构造不等式在解析几何中直线与曲线之间的位置关系可以转化为一元二次方程的解的问题因此
f可利用判别式来构造不等式求解例4设抛物线y28x的准线与x轴交于点Q若过点Q的直线L与抛物线有公共点则直线L的斜率取值范围是A1212B22C11D44分析由于直线l与抛物线有公共点等价于一元二次方程有解则判别式△≥0解依题意知Q坐标为20则直线L的方r