a

所以limx
a

5、用极限性质判别下列结论是否正确为什么？1若x
收敛则limx
limx
kk为正整数；


解：结论正确显然x
k是x
的子数列故limx
klimx


2有界数列x
必收敛；解：结论错误例如取x
1
虽然x
有界但显然x
发散3无界数列x
必发散；解：结论正确因收敛数列必有界那么无界数列必发散4发散数列x
必无界
解：结论错误例如取x
1虽然x
发散但显然x
有界
6、利用数列的“N”分析定义证明下列极限：1lim
10；
2
1111只需
或
1即可2
11证明：0取N1N当
N时恒有
分析：0欲使x
0
fx
0
11
2
1所以lim2limx
0


2
lim


2
12；3
13
分析：0欲使x

22
121133
1333
1
11只需
或
1即可


证明：0取N1N当
N
1211x
333
1
2
12所以limlimx
3
1
3
11；3

1时恒有
3lim1

1111只需
或
1即可3
11证明：0取N1N当
N时恒有11x
13
1所以lim1limx
1
3

分析：0欲使x
14lim


si
0

分析：0欲使x
0
si
111只需
或
1即可

f证明：0取N1N
1

当
N
1时恒有
x
0
si
1
si
所以limlimx
0



7、若limu
0证明limu
0并举例说明如果数列u
有极限但

数列u
未必有极限
证明：因limu
0有0NNst
N时u
0

于是u
0u
0所以limu
0

而若取u
1显然limu
1但显然u
没有极限


8、对于数列x
若x2k1akx2kak证明x
a
证明：因limx2k10有0N1N
kk

stkN1时x2k1a
又因limx2k0对r