241平面向量数量积的物理背景及含义1学案
编制：闫利
编制时间：3月21日
使用：高一（1、2）班
编
号：22
学习目标
1掌握平面向量的数量积及其几何意义；
2掌握平面向量数量积的重要性质及运算
律；
3体会类比的数学思想和方法，进一步提高抽象概括、推理论证的能力
f学习过程探究一、数量积的概念如图所示，一物体在力F的作用下产生位移S，那么力F所做的功W
F
αS
小结1、数量积的定义
已知两个非零向量a与b，它们的夹角为，
1、ab2、规定：
；；
3、物理意义：功W
思考1、向量的数量积运算与数乘运算有何区别？
探究二、研究数量积的几何意义
在下列各图中，能否找出长度为bcos的一条线段，它有什么几何意义吗？
B
B
B
b
b


b
O
aA
O
aAO
aA
1
2
3
小结2、“投影”的概念
向量b在a方向上的投影为
，
向量a在b方向上的投影为

思考2、你能说出数量积ab的几何意义是什么吗？
探究三、数量积的性质
f已知a与b是两个非零向量，e是单位向量，
试填空：
1ae
；
2当a⊥b时，ab
；
3当a与b同向时，ab
；
当a与b反向时，ab
；
4aa
；
5ab
ab填“≥”或“≤”或“”；
6cos

学以致用1、判断下列命题的正误：
①a00；②0a0；③abab；
④若a0，则对任一非零向量b都有ab0；
⑤若ab0，则a与b中至少有一个为0；
2
2
⑥若a与b是两个单位向量，则ab；
⑦若a0，abac，则bc2、选择题
1已知a4，b5，a与b的夹角为1200，
则ab（）
A10B10
C103
D103
2已知p8，q3，pq12，则p与q的夹角为（）
A300
B600
C1200
D1500
3已知a43，ab2，且a与b的夹角为1500，则b（）
A33
B33
C13
D13
f4已知a3，b5，ab12，则a在b方向上的投影为（）
A12
B3
5
3、典例分析：
C4
D5
如图，在ABCD中，AB4，AD3
DAB600
1ADBC；
D
C
2ABCD；
3ABDA；A
B
求：
变式、已知△ABC中，若ABBC0，试判断△ABC的形状
f小结3、两向量平行时，夹角
；
若AB与AC的夹角为，则AB与CA的夹角为
深化提高
1、已知a3，b2，a与b的夹角为600
求1ab；2ba；32ab；4a2b
2、设向量a3，b2，c5，ar