求解离心率的范围问题
离心率的范围问题是高考的热点问题，各种题型均有涉及，因联系的知识点较多，且处
理的思路和方法比较灵活，关键在于如何找到不等关系式，从而得到关于离心率的不等式，进而求其范
围很多同学掌握起来比较困难，本文就解决本类问题常用的处理方法和技巧加以归纳
一、【知识储备】求离心率的方法来源学科网ZXXK
离心率是刻画圆锥曲线几何特点的一个重要尺度常用的方法：
（1）直接求出a、c，求解e：已知标准方程或a、c易求时，可利用离心率公式ec来求解；a
（2）变用公式，整体求出e：以椭圆为例，如利用e
c2a2

a2b2a2

1
b2a2
，e
c2c2b2

1；
1

b2c2
（3）构造a、c的齐次式，解出e：根据题设条件，借助a、b、c之间的关系，构造出a、c的齐次式，进而得到关于e的方程，通过解方程得出离心率e的值
二、求解离心率的范围的方法
1借助平面几何图形中的不等关系根据平面图形的关系，如三角形两边之和大于第三边、折线段大于或等于直线段、对称的性质中的最值
等得到不等关系，然后将这些量结合曲线的几何性质用abc进行表示，进而得到不等式，从而确定离心率
的范围
【例1】已知椭圆的中心在O右焦点为F，右准线为l，若在l上存在点M，使线段OM来源ZxxkCom
的垂直平分线经过点F，则椭圆的离心率的取值范围是_____________
yOF
l
M
x
【答案】：221来源ZxxkCom
1
f【点评】离心率的范围实质为一个不等式关系，如何构建这种不等关系？可以利用方程和垂直平分线性质构建利用题设和平面几何知识的最值构建不等式往往使问题简单化
【牛刀小试】已知椭圆C1
x2a2

y2b2
1a
b
0与圆C2

x2

y2
b2，若在椭圆C1上存在点P，使得由
点P所作的圆C2的两条切线互相垂直，则椭圆C1的离心率的取值范围是______________
【答案】212
【解析】椭圆上长轴端点向圆外两条切线PAPB，则两切线形成的角APB最小，若椭圆C1上存在点P令切线互相垂直，则只需APB900，即APO450，
∴si
bsi
4502，解得a22c2，∴e21，即e2，而0e1，
a
2
2
2
∴2e1，即e21
2
2
2借助题目中给出的不等信息
根据试题本身给出的不等条件，如已知某些量的范围，存在点或直线使方程成立，的范围等，进一步
得到离心率的不等关系式，从而求解
yA
x
F1
o
F
B
【例
2】已知椭圆
x2a2

y2b2
1a
b

0上一点
A关于原点r