购房贷款还贷方式的数学模型
现在银行所推行的等额本息还款的方式（即每月的还款额相同）偿还贷款与采用等额本金还款的方式（即每月还相同的本金）偿还贷款两种方式对家庭收入逐年增加的情形并不适合。随着工作经历的增长，一般家庭收入也在增加。以逐年增加还款额的方式偿还贷款可以又想缩短还款时间又不至于因缩短还款时间在最初几年无法承受大数目的还款额造成经济紧张．请给出下面给出几种以逐年增加还款额偿还贷款的方式供贷款的家庭选择．某家庭于2011年5月初贷款36万元购买一套房子，贷款年利率为612，用10年的时间还清贷款。不同的贷款方案将会产生不同的效益，根据问题的要求，建立相应的数学模型解答出不同情况下每月还款额以及利息、还款的时间。问题如下：1等额本息还款的方式偿还贷款；2等额本金还款的方式偿还贷款；3．逐年以等比递增本息的方式偿还贷款，取每一年比上一年多还10；4．逐年以等差递增本息的方式偿还贷款，取每一年比上一年多还20；5．逐年以等比递增本金的方式偿还贷款，取每一年比上一年多还10；6．逐年以等差递增本金的方式偿还贷款，取每一年比上一年多还20；。针对以上6种求该家庭每月的还款额、总利息。比较各贷款方案的优劣。解：（1）总贷款额＝Ａ还款次数＝Ｂ还款月利率＝Ｃ月还款额＝Ｘ第一个月的利息＝Ａ×Ｃ第一个月的本金还款额Ｙ１＝Ｘ－第一个月的利息＝Ｘ－Ａ×Ｃ第一个月剩余本金＝总贷款额－第一个月本金还款额＝Ａ－（Ｘ－Ａ×Ｃ）＝Ａ×（１＋Ｃ）－Ｘ第二个月的利息＝（Ａ×（１＋Ｃ）－Ｘ）×Ｃ第二个月的本金还款额Ｙ２＝Ｘ－第二个月的利息＝Ｘ－（Ａ×（１＋Ｃ）－Ｘ）×Ｃ第二个月剩余本金＝第一个月剩余本金－第二个月本金还款额＝Ａ×（１＋Ｃ）－Ｘ－（Ｘ－（Ａ×（１＋Ｃ）－Ｘ）×Ｃ）＝Ａ×（１＋Ｃ）－Ｘ－Ｘ＋（Ａ×（１＋Ｃ）－Ｘ）×Ｃ＝Ａ×（１＋Ｃ）×（１＋Ｃ）－［Ｘ＋（１＋Ｃ）×Ｘ］＝Ａ×（１＋Ｃ）２－［Ｘ＋（１＋Ｃ）×Ｘ］，第三个月的利息＝第二个月剩余本金×月利率第三个月的利息＝（Ａ×（１＋Ｃ）２－［Ｘ＋（１＋Ｃ）×Ｘ］）×Ｃ第三个月的本金还款额Ｙ３＝Ｘ－第三个月的利息＝Ｘ－（Ａ×（１＋Ｃ）２－［Ｘ＋（１＋Ｃ）×Ｘ］）×Ｃ第三个月剩余本金＝第二个月剩余本金－第三个月的本金还款额＝Ａ×（１＋Ｃ）２－［Ｘ＋（１＋Ｃ）×Ｘ］－（Ｘ－（Ａ×（１＋Ｃ）２－［Ｘ＋（１＋Ｃ）×Ｘ］）×Ｃ）＝Ａ×（１＋Ｃ）２－［Ｘ＋（１＋Ｃr