数列通项公式的十种求法
一、公式法
例1已知数列a
满足a
12a
32
，a12，求数列a
的通项公式。
解：a
1
2a


3

2

两边除以
2
1
，得
a
12
1

a
2


32
，则
a
12
1
a
2


3，故数列a
是
2
2

以
a121

22
1为首项，以
32
为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得
a
2

1
13，2
所以数列a
的通项公式为a


32



12
2
。
评注：本题解题的关键是把递推关系式a
1
2a

32
转化为a
12
1
a
2


3，说明数列2
2a
是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出
a
2

1
132
，进而求出数列
a
的通项公式。
二、累加法
例2已知数列a
满足a
1a
2
1，a11，求数列a
的通项公式。
解：由a
1a
2
1得a
1a
2
1则
a
a
a
1a
1a
2a3a2a2a1a12
112
2122121112
1
221
112
1
112
1
11
2
所以数列a
的通项公式为a
2。
评注：本题解题的关键是把递推关系式a
1a
2
1转化为a
1a
2
1，进而求出a
a
1a
1a
2a3a2a2a1a1，即得数列a
的通项公式。
f例3已知数列a
满足a
1a
23
1，a13，求数列a
的通项公式。
解
：
由
a
1a
23
1
得
a
1a
23
1
则
a
a
a
1a
1a
2a3a2a2a1a123
1123
2123212311323
13
23231
132313
1
13133
3
133
1
所以a
3
1
评注：本题解题的关键是把递推关系式a
1a
23
1转化为a
1a
23
1，
进而求出a
a
a
1a
1a
2
项公式。
a3a2a2a1a1，即得数列a
的通
例4已知数列a
满足a
13a
23
1，a13，求数列a
的通项公式。
解：a
1
3a

23

1两边除以3
1，得
a
13
1

a
3


23
13
1
，
则a
13
1
a
3


23

13
1
，故
a
3



a
3

a
1a
1
a
1
a
1

a
23
2



a
23
2

a
33
3




a232

a131


a13


23

13




23

13
1



23

13
2




23

132


33

2
13

13


13


13
1

13
2


132


1
因此
a
3


2
13

13

13
113
1
2
3

12
123

，
则a


23

3


12
3


12
f评注：本题解题的关键是把递推关系式a
1
3a

23

1转化为a
13
1

a
3


23

13
1
，
进而求出

a
3


a
13
1



a
13
1

a
23
2



a
23
2

a
33
3




a232

a131


a13
，即得数列

a
3


的通项公式，最后再求数列a
的通项公式。
三、累乘法
例5已知数列a
满足a
12
15
a
，a13，求数列a
的通项公式。
解：因为a
1

2
15

a
，a1

3，所以r