全等三角形压轴题
1在△ABC中，ABAC，∠BACα（0°＜α＜60°），将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD．（1）如图1，直接写出∠ABD的大小（用含α的式子表示）；（2）如图2，∠BCE150°，∠ABE60°，判断△ABE的形状并加以证明；（3）在（2）的条件下，连接DE，若∠DEC45°，求α的值．
【分析】（1）求出∠ABC的度数，即可求出答案；（2）连接AD，CD，ED，根据旋转性质得出BCBD，∠DBC60°，求出∠ABD∠EBC30°α，且△BCD为等边三角形，证△ABD≌△ACD，推出∠BAD∠CAD
∠BACα，求出∠BECα∠BAD，证△ABD≌△EBC，推出ABBE即可；（3）求出∠DCE90°，△DEC为等腰直角三角形，推出DCCEBC，求出∠EBC15°，得出方程30°α15°，求出即可．【解答】（1）解：∵ABAC，∠Aα，∴∠ABC∠ACB（180°∠A）90°α，∵∠ABD∠ABC∠DBC，∠DBC60°，即∠ABD30°α；
（2）△ABE是等边三角形，证明：连接AD，CD，ED，∵线段BC绕B逆时针旋转60°得到线段BD，则BCBD，∠DBC60°，
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f∵∠ABE60°，∴∠ABD60°∠DBE∠EBC30°α，且△BCD为等边三角形，在△ABD与△ACD中
∴△ABD≌△ACD（SSS），∴∠BAD∠CAD∠BACα，∵∠BCE150°，∴∠BEC180°（30°α）150°α∠BAD，在△ABD和△EBC中
∴△ABD≌△EBC（AAS），∴ABBE，∴△ABE是等边三角形；
（3）解：∵∠BCD60°，∠BCE150°，∴∠DCE150°60°90°，∵∠DEC45°，∴△DEC为等腰直角三角形，∴DCCEBC，∵∠BCE150°，∴∠EBC（180°150°）15°，∵∠EBC30°α15°，∴α30°．
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f【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，等腰直角三角形的判定和性质的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的性质是全等三角形的对应边相等，对应角相等．2已知，Rt△ABC中，∠ACB90°，∠CAB30°．分别以AB、AC为边，向三角形外作等边△ABD和等边△ACE．（1）如图1，连接线段BE、CD．求证：BECD；（2）如图2，连接DE交AB于点F．求证：F为DE中点．
【解答】证明：（1）∵△ABD和△ACE是等边三角形，∴ABAD，ACAE，∠DAB∠EAC60°，∴∠DAB∠BAC∠EAC∠BAC，即∠DAC∠BAE，在△DAC和△BAE中，
，∴△DAC≌△BAE（SAS），∴DCBE；
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f（2）如图，作DG∥AE，交AB于点G，由∠EAC60°，∠CAB30°得：∠FAE∠EAC∠CAB90°，∴∠DGF∠FAE90°，又∵∠ACB90°，∠CAB30°，∴∠ABC60°，又∵△ABD为等边三角形，∠DBG60°，DBAB，∴∠DBG∠ABC60°，在△DGB和△ACB中，
，
∴△DGB≌△ACB（AAS）r