关于费马小定理与反证法的讨论
摘要在运用费马小定理解题时运用反证法，往往可以在我们正面无法解决一些无穷数和无穷数列的时候事半功倍同时我们在这次研究中学会数学竞赛里费马小定理的运用，加深对费马小定理的理解
引
言
反证法，在数学证明中有着举足轻重的作用，在费马小定理中又是数论中一个重要的定理，尤其是在解决高阶及其应用时费马小定理可以解决他们的同系性。而二者结合在一起，就意味着：在利用费马小定理证明题目时，反证法是一个很好的突破口
1关于费马小定理的证明
费马小定理是数论四大定理（威尔逊定理，欧拉定理，中国剩余定理和费马小定理）之一，在初等数论中有着非常广泛和重要的应用。实际上，它是欧拉定理的一个特殊情况当是p质数时，对任意与互质的整数a，我们易知a2a3aLp1a等数一定会与123Lp1等数对模p而言同余，因此a2a3aLp1a等数的乘积一定会与123Lp1等数的乘积对模p同余：
a2a3aLp1a123Lp1
ap1p1p1modp
由于p1与p互质，我们可将上式左右两边的p1消去而得
ap11modp
2反证法的作用
我们都知道：反证法是“间接证明法”一类，是从反面的角度的证明方法，即：肯定题设而否定结论，从而得出矛盾。就像某个数学家曾说的：“若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾”。具体地讲，反证法就是从反论题入手，把命题结论的否定当作条件，使之得到与条件相矛，肯定了命题的结论，从而使
f命题获得了证明。而在运用费马小定理解题时运用反证法，往往可以在我们正面无法解决一些无穷数和无穷数列的时候事半功倍
3利用反证法与费马小定理的技巧
在证明同系性时，从正面突破往往很困难，由此我们常常从背后突击。例如：有一个数列a
且a
2
3
6
123L求与此数列的每一项都互知的所有正整数这题的答案是不存在这样的数。若想得到结论，从数的性质去找这样的数几乎不可能，所以我们就用反证法来说明不存在这样的数。解：假设存在这样的数m使得m与数p，使得p与a
均互质。故：a
p1p21p31p61都与这列数互质，则数m中必存在质
2p11modp3p11modp6p11modp32p123p16p16modp
ppp62232620modp，

pap2矛盾不存在p亦不存在m
注：在这个题目中，我们的方法是假设存在数m，r