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学常识
第二讲重要模型与专题
一、小船渡河物理情形:在宽度为d的河中,水流速度v2恒定。岸边有一艘小船,保持相对河水恒定的速率v1渡河,但船头的方向可以选择。试求小船渡河的最短时间和最小位移。模型分析:小船渡河的实际运动(相对河岸的运动)由船相对水流速度v1和水相对河岸的速度v2合成。可以设船头与河岸上游夹角为θ(即v1的方向),速度矢量合成如图1(学生活动)用余弦定理可求v合的大小
22v合v1v22v1v2cos
(学生活动)用正弦定理可求v合的方向。令v合与河岸下游夹角为α,则αarcsi

v1si
2v1v222v1v2cos
1、求渡河的时间与最短时间由于合运动合分运动具有等时性,故渡河时间既可以根据合运动求,也可以根据分运动去求。针对这一思想,有以下两种解法解法一:t
S合v合
其中v合可用正弦定理表达,故有t
dsi
dv1si
v1si
si

解法二:t
S1dsi
v1v1

dv1si
此外,结合静力学正交分解的思
2
f想,我们也可以建立沿河岸合垂直河岸的坐标x、y,然后先将v1分解(v2无需分解),再合成,如图2所示。而且不难看出,合运动在x、y方向的分量vx和vy与v1在x、y方向的分量v1x、v1y以及v2具有以下关系vyv1yvxv2v1x由于合运动沿y方向的分量Sy≡d,故有解法三:t
Syvy

ddv1si
v1y
dv1
tθ函数既已得出,我们不难得出结论当θ90°时,渡河时间的最小值tmi

(从“解法三”我们最容易理解t为什么与v2无关,故tmi
也与v2无关。这个结论是意味深长的。)2、求渡河的位移和最小位移在上面的讨论中,小船的位移事实上已经得出,即S合
2dv1v2dd22v1v2co
v1si
v1si
si
v合
但S合(θ)函数比较复杂,寻求S合的极小值并非易事。因此,我们可以从其它方面作一些努力。将S合沿x、y方向分解成Sx和Sy,因为Sy≡d,要S合极小,只要Sx极小就行了。而Sx(θ)函数可以这样求解法一:Sxvxt(v2v1x)
Syvy
(v2v1cosθ)
dv1si

为求极值,令cosθp,则si
θ
1p2,再将上式两边平方、整理,得到
22222222v1S2xdp2v1v2dpdv2Sxv10
这是一个关于p的一元二次方程,要p有解,须满足Δ≥0,即
2242222224v1v2d≥4v1S2xddv2Sxv1
整理得Sxv1≥dv2v1
22222
所以,Sxmi

vd2v2,代入Sx(θ)函数可知,此时cosθ12v1v1v2
2S2xmi
Sy
最后,Smi

v2dv1
此过程仍然比较繁复,且r
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