必修5
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正弦定理（学案）
【知识要点】1．正弦定理2．正弦定理的变形【学习要求】1．理解正弦定理的推导过程，会初步应用正弦定理解斜三角形．2．通过应用提高分析问题、解决问题的能力．
【预习提纲】（根据以下提纲，预习教材第1页～第4页）1在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系．我们如何得到边与角的准确量化表示呢？（1）（1）在RTABC中，C是最大的角，所对的斜边c是最大的边，依据正弦函数定义得：c（2）在锐角ABC中，设边AB上的高是CD，根据三角函数定义得：
（3）在钝角ABC中，C是最大的角，所对的斜边c是最大的边，过点A作AE垂直于
asi
A

BC交BC于E点，AE
同理可得：
asi
C
cbsi
Csi
Babc，故si
Asi
Bsi
C
即
2正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即
asiA


结合提示完成以下几种方法，帮助大家开拓一下眼界！法一：（等面积法）在任意斜△ABC当中，S△ABC
111absi
Cacsi
Bbcsi
A222
1a两边同除以abc即得：2si
A


C
ab
OBD
为△ABC
法二：（外接圆法）如图所示，∠Ａ＝∠Ｄ∴CD2R同理2R＝
c
A
abc可将正弦定理推广为：2R（Rsi
Asi
Bsi
C
1
f外接圆半径）法三：（向量法）过A作单位向量j垂直于AC，由


AB


两边同乘以单位向量j得jAB即jACjCBjAB∴∴asi
Ccsi
A∴
asi
A




csi
C

同理，若过C作j垂直于CB得：


∴
abcsi
Asi
Bsi
C
3定理及其变形：（1）si
Asi
Bsi
C______；2
abcabcsi
Asi
Bsi
Csi
Asi
Bsi
C
；
a______；b______；c_______；4si
A_______；si
B________；si
C________4思考：观察公式特点，思考正弦定理可以解决的问题：（1）（2）；．
5在ABC中，已知ab和A时解三角形的情况：有三种，我们分情况给予讨论（1）当A为锐角
（2）当A为直角或钝角也可利用正弦定理si
B
bsi
A进行讨论：a
如果si
Bl，则问题有一
如果si
Bl，则问题无解；
解；如果求出si
Bl，则可得B的两个值，但要通过“三角形内角和定理’’或“大边对大角”等三角形有关性质进行判断．【基础练习】
2
f1．在△ABC中，
abck则k为si
Asi
Bsi
C
．
A
2R
B
R
0
C
0
4R
D
1R2
R为△ABC外接圆半径
2在ABC中，已知a8B60C75，r