竞赛讲座26r
－平面图形的面积r
1．关于面积的两点重要知识r
（1）相似三角形的面积比等于相似比的平方r
例1（第2届美国数学邀请赛题）如图401，在△ABC的内部选取一点P，过P点作三条分别与△ABC的三条边平行的直线这样所得的三个三角形t1、t2和t3的面积分别为4，9和49．求△ABC的面积．r
解设T是△ABC的面积，T1、T2和T3分别是三角形t1、t2和t3的面积；c是边AB的长，c1、c2和c3分别是平行于边AB的三个三角形t1、t2和t3的边长．那么，由四个三角形相似，得r
r
（2）两边夹角的三角形面积，灵活运用△ABC的面积公式S可以方便地解决一些较难的面积问题．r
r
例2已知P、Q、R、S四点分别由四边形的四个顶点A、B、C、D同时开始沿四边形各边依反时针方向以各自的速度作匀速直线运动（如图402），已知P由A至B，R由C至D分别需要两秒钟；Q由B至C，S由D至A分别需要1秒钟；问开始运动后，经过多少时间，四边形PQRS的面积最小？r
解设P的速度是Q的速度是R的速度是S的速度是在t0＜t≤1秒时AP设四边形PQRS和四边形ABCD的面积分别为S′、Sr
①r
②r
③r
④r
①③得r
②④得r
r
当t′有极小值．r
答经过秒后四边形PQRS面积最小．r
下面是一个用不等式来证明相等问题的例子．r
r
例31982年英国数学奥林匹克竞赛试题PQRS是面积为A的四边形O是在它内部的一点证明如果2AOP2OQ2OR2OS2r
那么PQRS是正方形并且O是它的中心．r
证明如图403，按题设有此处无图r
p2q2r2s2pqsi
αqrsi
βrsi
γspsi
δr
≤pqqrrssp①r
r
依题设、必须且只须这里所有的不等式都取等号．由①取等号有r
由②取等号有pqrsr
因此PQRS是正方形O是它的中心r