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含参数导数问题的分类讨论问题
1.求导后,导函数的解析式含有参数,导函数为零时有实根(或导函数的分子能分解因式)导函数为零的实根中有参数也落在定义域内,但不知这些实根的大小关系,从而引起讨论。
例1已知函数fx1x31a2x22ax(a0)求函数的单调区间32
fxxa2x2axax2
例2已知函数fxx2aa2l
x(a0)求函数的单调区间x
f
x

x2
a2x2ax2

x2xax2

3(2007
年高考天津理科卷)已知函数
f
x

2axx2
a21

1

x

R

,其中
aR

(1)当a1时,求曲线yfx在点2f2处的切线方程;
(2)当a0时,求函数fx的单调区间与极值。
解:(1)当a1时,曲线yfx在点2f2处的切线方程为6x25y320。
(2)由于a0,所以fx2a
x21
2x2axa21x212

2a

xx2
a

1
x
2

1a


f
x

0,得
x1


1a
x2

a。这两个实根都在定义域
R
内,但不知它们之间的大小。因此,需对参数a的
取值分a0和a0两种情况进行讨论。
1当
a

0
时,则
x1

x2。易得
f
x
在区间



1a

,a
内为减函数,在区间


1a

a

为增函数。
故函数
f
x在x1
1a
处取得极小值
f


1a


a2

函数fx在x2a处取得极大值fa1。
2当
a

0
时,则
x1

x2
。易得
f
x
在区间a

1a

内为增函数,在区间a
1a
为减函数。故函

f
x在
x1


1a
处取得极小值
f


1a


a2;函数
f
x

x2

a
处取得极大值
f
a
1。
以上三点即为含参数导数问题的三个基本讨论点,在求解有关含参数的导数问题时,可按上述三点的顺序对参数进行讨论。因此,对含参数的导数问题的讨论,还是有一定的规律可循的。当然,在具体解题中,可能要讨论其中的两点或三点,这时的讨论就更复杂一些了,需要灵活把握。
f区间确定零点不确定的典例例4某分公司经销某种品牌产品,每件产品的成本为3元,并且每件产品需向总公司交a元(3≤a≤5)的管理费,
预计当每件产品的售价为x元(9≤x≤11)时,一年的销售量为(12x)2万件(1)求分公司一年的利润L(r
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