2016年高考数学热点题型和提分秘籍专题25数列求和理（含解析）新人教A版
【高频考点解读】1熟练掌握等差、等比数列的前
项和公式；2掌握非等差数列、非等比数列求和的几种常见方法．【热点题型】题型一分组转化法求和

【例1】设数列a
满足a1＝2，a2＋a4＝8，且对任意
∈N，函数fx＝a
－a
＋1＋a
＋
2
πx＋a
＋1cosx－a
＋2si
x满足f′＝02
1求数列a
的通项公式；2若b
＝2a
＋

1，求数列b
的前
项和S
2a

1
f【提分秘籍】常见可以使用公式求和的数列：1等差数列、等比数列以及由等差数列、等比数列通过加、减构成的数列，它们可以使用等差数列、等比数列的求和公式求解；2奇数项和偶数项分别构成等差数列或等比数列的，可以分项数为奇数和偶数时，分别使用等差数列或等比数列的求和公式．【举一反三】在等差数列a
中，已知公差d＝2，a2是a1与a4的等比中项．1求数列a
的通项公式；2令b
＝a

（
＋1）
2
，记T
＝－b1＋b2－b3＋b4－＋－1b
，求T


题型二
错位相减法求和

【例2】已知首项都是1的两个数列a
，b
b
≠0，
∈N满足a
b
＋1－a
＋1b
＋2b
＋1b
＝01令c
＝，求数列c
的通项公式；
a
b

2
f2若b
＝3

－1
，求数列a
的前
项和S

【解析】1因为a
b
＋1－a
＋1b
＋2b
＋1b
＝0，b
≠0
∈N，所以
a
＋1a
－＝2，即c
＋1－c
＝2b
＋1b

所以数列c
是以首项c1＝1，公差d＝2的等差数列，故c
＝2
－12由b
＝3
－1
知a
＝c
b
＝2
－13
0

－1
，
12
于是数列a
前
项和S
＝13＋33＋53＋＋2
－133S
＝13＋33＋＋2
－33相减得－2S
＝1＋23＋3＋＋3
1212

－1
，

－1
＋2
－13，




－1
－2
－13＝－2－2
－23，所以
S
＝
－13
＋1
【提分秘籍】1一般地，如果数列a
是等差数列，b
是等比数列，求数列a
b
的前
项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列b
的公比，然后作差求解；2在写出“S
”与“qS
”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“S
－
qS
”的表达式．
【举一反三】数列a
满足a1＝1，
a
＋1＝
＋1a
＋
＋1，
∈N1证明：数列是等差数列；
a

2设b
＝3a
，求数列b
的前
项和S


3
f题型三
裂项相消法求和
222
【例3】正项数列a
的前
项和S
满足：S
－
＋
－1S
－
＋
＝01求数列a
的通项公式a
；

＋152令b
＝数列b
的前
项和为T
，证明：对于任意的
∈N，都有r