第十六讲相似三角形二
上一讲主要讲述了相似三角形与比例线段之间的关系的计算与证明本讲主要讲述相似三角形的判定与性质的应用
例1如图276所示△ABC中AD是∠BAC的平分线求证AB∶ACBD∶DC
分析设法通过添辅助线构造相似三角形这里应注意利用角平分线产生等角的条件
证过B引BE∥AC且与AD的延长线交于E因为AD平分∠BAC所以∠1∠2又因为BE∥AC所以
∠2∠3
从而∠1∠3ABBE显然
△BDE∽△CDA
所以BE∶ACBD∶DC
所以AB∶ACBD∶DC
说明这个例题在解决相似三角形有关问题中常起重要作用可当作一个定理使用类似的还有一个关于三角形外角分三角形的边成比例的命题这个命题将在练习中出现请同学们自己试证
在构造相似三角形的方法中利用平行线的性质如内错角相等、同位角相等将等角“转移”到合适的位置形成相似三角形是一种常用的方法
例2如图277所示在△ABC中AM是BC边上的中线AE平分∠BACBD⊥AE的延长线于D且交AM延长线于F求证EF∥AB
f分析利用角平分线分三角形中线段成比例的性质构造三角形设法证明△MEF∽△MAB从而EF∥AB
证过B引BG∥AC交AE的延长线于G交AM的延长线于H因为AE是∠BAC的平分线所以
∠BAE∠CAE
因为BG∥AC所以
∠CAE∠G∠BAE∠G
所以BABG
又BD⊥AG所以△ABG是等腰三角形所以
∠ABF∠HBF
从而
AB∶BHAF∶FH
又M是BC边的中点且BH∥AC易知ABHC是平行四边形从而
BHAC
所以AB∶ACAF∶FH
因为AE是△ABC中∠BAC的平分线所以
AB∶ACBE∶EC
所以AF∶FHBE∶EC
即
AMMF∶AMMFBMME∶BMME这是因为ABHC是平行四边形所以AMMH及BMMC由合分比定理上式变为
AM∶MBFM∶ME
f在△MEF与△MAB中∠EMF∠AMB所以
△MEF∽△MAB
两个三角形两条边对应成比例并且夹角相等那么这两个三角形相似所以
∠ABM∠FEM
所以EF∥AB
例3如图278所示在△ABC中∠A∶∠B∶∠C1∶2∶4
即可为此若能设法利用长度分别为ABBCCA及lABAC这4条线段构造一对相似三角形问题可能解决
注意到原△ABC中已含上述4条线段中的三条因此不妨以原三角形ABC为基础添加辅助线构造一个三角形使它与△ABC相似期望能解决问题
证延长AB至D使BDAC此时ADABAC又延长BC至E使AEAC连结ED下面证明△ADE∽△ABC
设∠Aα∠B2α∠C4α则
∠A∠B∠C7α180°
由作图知∠ACB是等腰三角形ACE的外角所以
∠ACE180°4α3α
所以∠CAE180°3α3α7α6αα
f从而
∠EAB2α∠EBAAEBE
又由作图
AEACAEBD
所以BEBD
△BDE是等腰三角形所以
∠D∠BEDα∠CAB
所以△ABC∽△DAE
所以
例4如图279所示PQ分别是正方形ABCD的边ABBC上的点且BPBQBH⊥PC于H求证QH⊥DH
分析要证QH⊥DHr