20XX年全国高中数学联赛江苏赛区初赛参考答案与评分细则
一、填空题（本题共10小题，满分70分，每小题7分．要求直接将答案写在横线上．）1．已知点P4，1在函数fx＝logax－bb＞0的图象上，则ab的最大值是．a＋b2解：由题意知，loga4－b＝1，即a＋b＝4，且a＞0，a≠1，b＞0，从而ab≤＝4，4当a＝b＝2时，ab的最大值是4．π43π2．函数fx＝3si
2x－在x＝处的值是．424π43ππ40π10π4π43π4π3解：2x－＝－＝＝＝2π＋，所以f＝3si
＝－．4124123324323．若不等式ax＋1≤3的解集为x－2≤x≤1，则实数a的值是．解：设函数fx＝ax＋1，则f－2＝f1＝3，故a＝2．4．第一只口袋里有3个白球、7个红球、15个黄球，第二只口袋里有10个白球、6个红球、9个黑球，从两个口袋里各取出一球，取出的球颜色相同的概率是．3×10307×642解：有两类情况：同为白球的概率是＝，同为红球的概率是＝，所求的25×2562525×2562572概率是．625x2y2x2y25．在平面直角坐标系xOy中，设焦距为2c的椭圆2＋2＝1a＞b＞0与椭圆2＋2＝1有相同abbc的离心率e，则e的值是．
2222－1＋5c2c－bc2b－c解：若c＞b，则2＝2，得a＝b，矛盾，因此c＜b，且有2＝2，解得e＝．acab2
6．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，对角线B1D与平面A1BC1交于E点．记四棱锥E－ABCD的体积为V1，长方体ABCD－A1B1C1D1的体V1积为V2，则的值是．V2
A1EDA（第6题图）BCD1C1B1
f解：记四棱锥B1－ABCD的体积为V．2如图，DE＝DB1，321V12从而V1＝V．又V＝V2，所以＝．33V29
AA1
D1
OB1EDB（第6题图）
C1
C
7．若实数集合A＝31x，65y与B＝5xy，403仅有一个公共元素，则集合A∪B中所有元素之积的值是．解：因为31x×65y＝5xy×403＝2015xy．若xy≠0，则集合A和集合B中有一组相等，则另一组也必然相等，这不合题意．所以xy＝0，从而A∪B中所有元素之积的值为0．8．设向量a＝cosα，si
α，b＝－si
α，cosα．向量x1，x2，…，x7中有3个为a，其余为b；向量y1，y2，…，y7中有2个为a，其余为b．则xiyi的可能取值中最小的为．
i1
7
解：因为aa＝bb＝1，ab＝0，所以xiyi的最小值为2．
i1
7
9．在3×3的幻方中填数，使每行、每列及两条对角线上的三个数之和都相等．如图，三个方格中的数分别为1，2，2015，则幻方中其余6个数之和为．解：如图，设幻方正中间的数为x，则由题意知a＝－2012，从而对角线上三个数的和为x－2011．
201512
因此b＝x－2014，c＝－4026，d＝－2013，e＝x＋r