专题十四分类讨论的思想
【考点聚焦】在研究和解决数学问题时，当问题所给对象不能进行统一研究，我们就需要根据数学对
象的本质属性的相同点和不同点，将对象区分为不同种类，然后逐类进行研究和解决，从而达到解决整个问题的目的，这一思想方法，我们称它为“分类讨论的思想”．分类讨论本质上是“化整为零，积零为整”的解题策略．
引起分类讨论原因，通常有以下几种：①涉及的数学概念是分类定义的（如x的定义，P点分线段的比等）；②公式、定理、性质或运算法则的应用范围受到限制；③几何图形中点、线、面的相对位置不确定；④求解的数学问题的结论有多种情况或多种可能性；⑤数学问题中含有参变量，这些参变量的不同取值会导致不同结果．
分类讨论的一般步骤是：（1）确定讨论对象和确定研究的全域；（2）进行科学分类（按照某一确定的标准在比较的基础上分类），“比较”是分类的前提，“分类”是比较的结果．分类时，应不重复，不遗漏；（3）逐类讨论；（4）归纳小结，整合得出结论．【自我检测】
1设Axxa0，Bxax10，且ABB，则实数a的值为（D）
A1
B1
C1或1
D1，1或0
2．一条直线过点（5，2），且在x轴，y轴上截距相等，则这直线方程为（C）
Axy70
B2x5y0
Cxy70或2x5y0
Dxy70或2y5x0
3．2005全国卷Ⅲ不共面的四个定点到平面的距离都相等，这样的平面共有（D）
A．3个
B．4个
C．6个
D．7个
4．（2006辽宁卷）5名乒乓球队员中有2名老队员和3名新队员现从中选出3名队员排成1、2、3号参加团体比赛则入选的3名队员中至少有一名老队员且1、2号中至少有1名新队员的排法有___48____种以数作答
【重点难点热点】
问题1由概念的定义引起的分类讨论
例12006辽宁已知函数fx1si
xcosx1si
xcosx则fx的值域是
2
2
A11
B

22
1

C
1
2
2

D
1
2
2

【解析】
f
x

1si
2
xcosx
12
si

xcosx

cosxsi
xcosxsi
xsi
xcosx
即等价于si
xcosxmi
，故选择答案C。
f【点评】本题考查绝对值的定义、分段函数、三角函数等知识，同时考查了分类讨论思想和估算能力。
问题2由公式、定理的应用条件引起的分类讨论例2设等比数列｛a
｝的公比为q，前
项和S
＞0（
1，2，3…）．（1）求q的取值范围；
（2）设b
a
2－3a
1，｛b
｝的前
项和为T
，试比较S
与T
的大小．2
【解】（1）因为｛a
｝是等比数列，S
＞0，可得a1S1＞0，q≠0，当q1时，S
a1＞0，
当
q≠1
时r