一．选择题：1．由一个正方体的三个顶点所能构成的正三角形的个数为A．4B．8C．12D．24abcab－c2．设a、b、c均为非零复数，且，则的值为bcaa－bc
2


2
A．1B．±ωC．1，ω，ωD．1，－ω，－ω33．设a是正整数，a100，并且a23能被24整除，那么，这样的a的个数为A．4B．5C．9D．104．设函数yfx对于一切实数x满足f3xf3－x．且方程fx0恰有6个不同的实数根，则这6个实根的和为A．18B．12C．9D．0225．设Sx，yx－y奇数，x，y∈R，Tx，ysi
2πx2－si
2πy2cos2πx22－cos2πy，x，y∈R，则A．ST
2
B．TS
C．ST
D．S∩T
6．方程x－y1－x的图象为
y
11
11
y
11
y
121
y
1
11
O
x
12

12
O
1
12
x

12
O1
2
1

12
x
1

12
O
1
12
1
x
11
A
B
C
D
二．填空题：221．cos10°cos50°－si
40°si
80°．2．在△ABC中，已知三个角A、B、C成等差数列，假设它们所对的边分别为a，b，c，C－A并且c－a等于AC边上的高h，则si
．23．将正奇数集合1，3，5，…由小到大按第
组有2
－1个奇数进行分组：1，3，5，7，9，11，13，15，17，……第一组第二组第三组则1991位于第组．200064．1991除以10，余数是．5．设复数z1，z2满足z1z1z23，z1－z233，则log3z1－z22000－z1
z22000
．6．设集合M1，2，…，1000，现对M中的任一非空子集X，令αX表示X中最大数与最小数的和．那么，所有这样的αX的算术平均值为．三．设正三棱锥PABC的高为PO，M为PO的中点，过AM作与棱BC平行的平面，将三棱锥截为上、下两部分，试求此两部分的体积比．
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f四．设O为抛物线的顶点，F为焦点，且PQ为过F的弦．已知OFa，PQB．求△OPQ的面积．2五．已知0a1，xy0，求证：1xylogaaa≤loga2．8
f1991年全国高中数学联赛二试题一．设S1，2，…，
，A为至少含有两项的公差为正的等差数列，其项都在S中，且添加S的其他元素于A后不能构成与A有相同公差的等差数列．求这种A的个数这里只有两项的数列也看作等差数列．
二．设凸四边形ABCD的面积为1，求证：在它的边上包括顶点或内部可以找出四个1点，使得以其中任意三点为顶点所构成的四个三角形的面积大于．4
三．设a
是下述自然数N的个数：N的各位数字之和为
且每位数字只能取1、3或4．求证：a2
是完全平方数．这里，
1，2，…．
f1991年全国高中数学联赛解答
第一试一．选择题：1．由一个正方体的三个顶点所能构成r