矩阵论文
矩阵分解在数值计算中的应用
2022427
【摘要】矩阵的分解是将一个矩阵分解为较为简单的或具有某种特性的若干矩阵的和或者乘积，这是矩阵理论及其应用中比较常见的方法。由于矩阵的这些特殊的分解形式，一方面反映了矩阵的某些数值特性，如矩阵的秩、特征值、奇异值等；另一方面矩阵的分解方法与过程往往为某些有效的数值计算方法和理论分析提供了重要的依据，它是应用于解最优化问题、特征值问题、最小二乘方问题的主要数学工具．在广义逆矩阵问题和统计学方面都有重要应用。关键词：矩阵分解对角化逆矩阵范数条件数斜量法
引言
矩阵分解在工程中的应用主要是在解线性方程组中而这主要就是关系到储存和计算时间的问题上面如何实现最小的储存和最少的计算时间是在工程计算中的头等问题。在这方年就牵涉到很多对矩阵进行怎样的分解，这篇文章介绍；了基本的关于三角分解相关的内容以及关于界的稳定性的考虑。最后就是介绍了斜量法运用，并对其进行了些许改进。
1矩阵的三角分解
数值求解线性方程族的方法中有一个主要是直接法，假设计算中没有舍入误差，经过有限次算术运算能够给出问题的精确解的数值方法。其中高斯消去法就是利用矩阵的分解实现的。矩阵的一种有效而且应用广泛的分解法就是三角分解法，将一个矩阵分解为一个酉矩阵（或正交矩阵）与一个三角矩阵的乘积或者三角矩阵与三角矩阵的乘积。考虑一般的线性方
程组，设其中的系数矩阵A是可逆的，
a11
A


am1
a1
am

（11）
设矩阵A的第一列中至少有一个是非零元素（否则A就是奇异矩阵）不妨设为ai1若一
般的记初等矩阵1
1
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1


0
Pi
j


1


i
1i0j1
j
（12）
根据矩阵理论的知识我们知道矩阵Pij左乘矩阵A，作用就是对换A的第i和第j行，右乘A的作用是对换A第i和第j列。因此通过取P1P1i1，则矩阵A1P1Aa1ij中的a1110。用第一行与其他行的线性组合可以将A1第一列对角线以下部分全部变为0。
这一过程写成矩阵形式即
其中
B1E1P1AE1A1
（13）
1

a121s11

E1a311s1
1



a1
1s1
1
（14）
这里s1a111，注意到
a0111
B1


0


0
a112a311b22b23b32b33
b
2b
3
a1
1b2


b3



b


（15）
并且该矩阵仍然是可逆矩阵。所以b22b23
b2
中至少有一个不为0，设bi20。
同理取P2P2i2，令A2P2B1如此逐步消元可得到
2
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Bk1Ek1Pk1
a1110
a112a311a222a223

E1P1




00
a1
1a22




bkkk
bkk


r