高中数学难点33函数的连续及其应用函数的连续性是新教材新增加的内容之一它把高中的极限知识与大学知识紧密联在一起在高考中,必将这一块内容溶入到函数内容中去,因而一定成为高考的又一个热点本节内容重点阐述这一块知识的知识结构体系●难点磁场
3★★★★已知函数fxxx1logx12
1讨论fx在点x-101处的连续性;2求fx的连续区间●案例探究
x11x11x5
x24x21求fx的定义域,并作出函数的图象;2求fx的不连续点x03对fx补充定义,使其是R上的连续函数命题意图:函数的连续性,尤其是在某定点处的连续性在函数图象上有最直观的反映因而画函数图象去直观反映题目中的连续性问题也就成为一种最重要的方法知识依托:本题是分式函数,所以解答本题的闪光点是能准确画出它的图象错解分析:第3问是本题的难点,考生通过自己对所学连续函数定义的了解应明确知道第3问是求的分数函数解析式技巧与方法:对分式化简变形,注意等价性,观察图象进行解答解:1当x2≠0时,有x≠-2因此,函数的定义域是-∞-2∪-2∞
[例1]已知函数fx当x≠-2时,fx
x24x-2x2
其图象如上图2由定义域知,函数fx的不连续点是x0-23因为当x≠-2时,fxx-2所以limfxlimx2-4
x2x2
x24因此,将fx的表达式改写为fxx24
x2x2
则函数fx在R上是连续函数[例2]求证:方程xasi
xba>0b>0至少有一个正根,且它不大于ab命题意图:要判定方程fx0是否有实根即判定对应的连续函数yfx的图象是否与x轴有交点,因此根据连续函数的性质,只要找到图象上的两点,满足一点在x轴上方,另一点在x轴下方即可本题主要考查这种解题方法知识依托:解答本题的闪光点要找到合适的两点,使函数值其一为负,另一为正错解分析:因为本题为超越方程,因而考生最易想到画图象观察,而忽视连续性的性质在解这类题目中的简便作用
f证明:设fxasi
xb-x则f0b>0fabasi
abb-aba[si
ab-1]≤0又fx在0ab]内是连续函数,所以存在一个x0∈0ab],使fx00即x0是方程fx0的根,也就是方程xasi
xb的根因此,方程xasi
xb至少存在一个正根,且它不大于ab●锦囊妙计1深刻理解函数fx在x0处连续的概念:等式limfxfx0的涵义是:1fx0在xx0处有定义,即fx0存在;2limfx存在,
xx0xr