二元一次方程组典型例题
【例1】已知方程组
的解x，y满足方程5xy3，求k的值
【思考与分析】本题有三种解法，前两种为一般解法，后一种为巧解法（１）由已知方程组消去k，得x与y的关系式，再与5xy3联立组成方程组求出x，
y的值，最后将x，y的值代入方程组中任一方程即可求出k的值（２）把k当做已知数，解方程组，再根据5xy3建立关于k的方程，便可求出k的
值（３）将方程组中的两个方程相加，得5xy2k11，又知5xy3，所以整体代入即可
求出k的值
把
代入①，得
解法二：①×3－②×２，得17yk22，
，解得k4
解法三：①②，得5xy2k11又由5xy3，得2k113，解得k4
【小结】解题时我们要以一般解法为主，特殊方法虽然巧妙，但是不容易想到，有思考巧妙解法的时间，可能这道题我们已经用一般解法解了一半了，当然，巧妙解法很容易想
f到的话，那就应该用巧妙解
知识提要
二元一次方程组能力提升讲义
1．
二元一次方程组
aa12xx

b1yb2y
c1c2
的解的情况有以下三种：
①当a1b1c1时，方程组有无数多解。（∵两个方程等效）a2b2c2
②当a1b1c1时，方程组无解。（∵两个方程是矛盾的）a2b2c2
③当a1b1（即a1b2－a2b1≠0）时，方程组有唯一的解：a2b2
xy

c1b2a1b2c2a1
c2b1a2b1c1a2
a1b2a2b1
（这个解可用加减消元法求得）
2．方程的个数少于未知数的个数时，一般是不定解，即有无数多解，若要求整数解，可按二元一次方程整数解的求法进行。
3．求方程组中的待定系数的取值，一般是求出方程组的解（把待定系数当己知数），再解含待定系数的不等式或加以讨论。（见例2、3）
例题
例1
选择一组
ac
值使方程组
5xax

y72yc
解
1有无数多解，2无解，3有唯一的
【例2】解方程组
【思考与分析】本例是一个含字母系数的方程组解含字母系数的方程组同解含字母系
数的方程一样，在方程两边同时乘以或除以字母表示的系数时，也需要弄清字母的取值是否
为零
解：由①，得y4－mx，
③
把③代入②，得2x5（4－mx）8，
解得（2－5m）x12，当2－5m＝0，
即m＝时，方程无解，则原方程组无解
f当2－5m≠0，即m≠时，方程解为
将
代入③，得
故当m≠时，
原方程组的解为
例3
a
取什么值时，方程组
xy5x3y
a
31
的解是正数？
例4
m
取何整数值时，方程组
2xmyx4y1
4
的解
x
和
y
都是整数？
二元一次方程组的特殊解法
1二元一次方程组的常规解法，是代入消元法和加减消元法。这两种方法都是从“消元”这个基本r