空间向量与立体几何典型例题
一、选择题：
1．2008全国Ⅰ卷理已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC内的射影为△ABC的中心，则AB1与底面ABC所成角的正弦值等于（C）
A．13
B．23
C．33
D．23
1解：C．由题意知三棱锥A1ABC为正四面体，设棱长为a，则AB1
3a，棱柱的高
A1O
a2AO2
a223
3a22
63
a
（即点
B1到底面
ABC
的距离），故
AB1
与
底面ABC所成角的正弦值为A1O
2

AB13
另解：设ABACAA1为空间向量的一组基底，ABACAA1的两两间的夹角为600
长度均为
a
，平面
ABC
的法向量为
OA1

AA1

13
AB

13
AC

AB1

AB

AA1
OA1AB1

23
a2

OA1

63

AB1

3
则AB1与底面ABC所成角的正弦值为OA1AB1A1OAB1

2
3
二、填空题：
1．2008全国Ⅰ卷理等边三角形ABC与正方形ABDE有一公共边AB，二面角
CABD的余弦值为3，M，N分别是AC，BC的中点，则EM，AN所成角的余3
弦值等于1．6
1答案：1设AB2，作CO面ABDE，6
OHAB，则CHAB，CHO为二面角CABD的平面角
CH3OHCHcosCHO1，结合等边三角形ABC
与正方形ABDE可知此四棱锥为正四棱锥，则ANEMCH3
AN1ACABEM1ACAE
2
2
ANEM1ABAC1ACAE1
2
2
2
C
NM
HAo
E
B
D
1题图（1）
z
故EM，AN所成角的余弦值ANEM1ANEM6
另解：以O为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，则点A110B110E110C002
C
MN
HAo
Ey
B
D
x1题图（2）
fM112N112222222
则AN312EM132ANEM1ANEM3
222
222
2
故EM，AN所成角的余弦值ANEM1ANEM6
三、解答题：
1．（2008安徽文）如图，在四棱锥OABCD中，底面ABCD四边长为1的菱形，
ABCOA底面ABCDOA2M为OA的中点。
4
（Ⅰ）求异面直线AB与MD所成角的大小；
O
（Ⅱ）求点B到平面OCD的距离。
1．方法一（综合法）
M
（1）CD‖AB
∴MDC为异面直线AB与MD所成的角（或其补角）
作APCD于P连接MP∵OA平面ABCD，∴CDMP
A
D
∵ADP∴DP2
4
2
B
C
∵MDMA2AD22，
∴cosMDPDP1MDCMDP
O
MD2
3
所以AB与MD所成角的大小为
3（２）∵AB‖平面OCD∴点A和点B到平面OCD的距离相等，
M
连接OP过点A作AQOP于点Q，∵APCDOACD∴CD平面OAP∵AQ平面OAP∴AQCD又∵AQOP∴AQ平面OCD
线段AQ的长就是点A到平面OCD的距离
AB
QD
PC
∵OPOD2DP2OA2AD2DP241132，APDP2
22
2
∴AQOAAPOP
2
3
222

23
，所以点
B
到平面
OCD
的距离为
23
2
方法二向量法作APCDr