高中数学开放题赏析
数学开放性问题是近年来高考命题的一个新方向其解法灵活且具有一定的探索性这类题型按解题目标的操作模式分为规律探索型问题探究型数学建模型操作设计型情景研究型如果未知的是解题假设那么就称为条件开放题如果未知的是解题目标那么就称为结论开放题如果未知的是解题推理那么就称为策略开放题当然作为数学高考题中的开放题其“开放度”是较弱的如何解答这类问题还是通过若干范例加以讲解
题目1：如果一个四面体的三个面是直角三角形，那么，第四个面可能是：①直
角三角形；②锐角三角形；③钝角三角形；④等腰三角形；⑤等腰直角三角形；⑥等边三角形。请说出你认为正确的那些序号。
解分三种情形第一种情形从同一顶点出发的三个面都是直角三角形，且都以该顶点为直角顶点，如图1。设AD、BD、CD的长分别是a、b、c，∵∠ADB∠ADC∠BDC900，
∴AB，BC，AC的长分别为在△ABC中，由余弦定理
a2b2
b2c2c2a2
cos∠BACAB2AC2BC2
A
2ABAC
a2b2a2c2b2c2
2ABAC
a
b
c
a2＞0ABAC
B
C
图1
∴∠BAC是锐角，同理∠ABC、∠ACB也是锐角∴△ABC是锐角三形。②正确。当abc时△ABC是等边三角形，⑥正确。
第二种情形如图2，∠ADB∠ADC∠DBC900∵AD⊥BD，AD⊥DC，∴AD⊥面DBC∴BD是AB在平面DBC上的射影。由三垂线定理知，BC⊥AB∴第四个面△ABC是直角三角形。①正确。
B
第三种情形如图3，∠ADC∠BDC∠ACB900
A
a
D
b
c
图2
AC
a
D
b
c
B
C
图3
f设AD、BD、CD的长分别为a、b、c，则AC2a2c2，BC2b2c2，∴AB2AC2BC2a2b22c2在△ABD中，由余弦定理得
cos∠ADBAD2
BD2
AB2

a2
b2
a2
b2
2c2
c2
＜0
2ADBD
2ab
ab
∴∠ADB＞900，△ABD是钝角三角形，③正确。显然在第二种情形下，AB和BC可以相等，所以三角形ABC可以是等腰直角三角形，⑤正确，从而④也正确。故答案是①②③④⑤⑥。注此题是一道高考模拟试题，是一道考查学生空间想象能力、探索能力的好试题。其中第三种情形容易被忽视，标准答案中也没有“钝角三角形”。（注第三种情形的存在性可以这样来验证：先作三角形ABD，使∠ADB是钝角，然后过D作直线DC垂直于面ABD。以AB为直径作一球，则D必在球的内部，设C是直线DC与球面的一个交点，则∠ACB是直角，图3的四面体存在）。
题目2：设a
是由正数组成的等比数列，S
是其前
项和。
（I）证明：lgS
lgS
2＜lgS
1；2
（II）假设存在常数
C＞0，使得
lgS

c
lgS
22
c

lgS
1

c成立？并r