初中数学竞赛辅导资料20
代数恒等式的证明
甲内容提要证明代数恒等式在整式部分常用因式分解和乘法两种相反的恒等变形要特别注意运用乘法公式和等式的运算法则性质具体证法一般有如下几种1从左边证到右边或从右边证到左边其原则是化繁为简变形的过程中要不断注意结论的形式2把左右两边分别化简使它们都等于第三个代数式3证明左边的代数式减去右边代数式的值等于零即由左边右边0可得左边右边4由己知等式出发经过恒等变形达到求证的结论还可以把己知的条件代入求证的一边证它能达到另一边乙例题例1求证3
22
22×5
23
2
105
13
2
1证明左边2×5×5
13
23
2
22
10×5
13
3212
1232105
13
2
1右边又证左边2×5
23
3212
2212×5
210×3
5×2
右边10×5
110×3
10×2
12×5
210×3
5×2
∴左边右边例2己知abc0求证a3b3c33abca证明∵a3b3c33abcabc2b2c2abacbc见19例1∵abc0∴a3b3c33abc0即a3b3c33abc又证∵abc0∴abc33两边立方ab3b2c3bc2c3移项a3b3c33bcbc3abc再证由己知abc代入左边得bc3b3c3b33b2c3bc2c3b3c33bcbc3bca3abc
f例3
己知a
111bca≠b≠c求证a2b2c21bca
证明由己知ab
bc11bc∴bccbbcabcaab11cabc∴ca同理abaccabccaabbcca∴abbcca1即a2b2c21caabbc
例4己知ax2bxc是一个完全平方式abc是常数求证b24ac0证明设ax2bxcmx
2m
是常数那么ax2bxcm2x22m
x
2
am2根据恒等式的性质得b2m
2c

∴b24ac2m
24m2
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丙练习201求证①abc2abc2abc2abc28ab②xy4x4y42x2xyy22③x2yx3y2xy3xyxy3④3
25
2—3
—5
245
3
1⑤a5
a
1a3
a2
1a2
a
12己知a2b22ab求证ab3己知abc0求证①a3a2cb2cb3abc②a4b4c42a2b22b2c22c2a24己知a2a1求证a55a35己知xyz0求证x38y3z36xyz6己知a2b2c2abacbc求证abc7己知abbc求证abc2a2b2c22abcac8己知abc≠0abbc2ac9己知求证
1111abbc
xyzabbcca
求证xyz0
10求证2x32x1x211是一个完全平方式11己知ax3bx2cxd能被x2p整除求证adbc
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