问题：
给定一组坐标xgygzg，g12…
，表示有
个点。要求用以下二元多项式函数对所给的坐标进行拟合：
pq
pq
fxyaijxi1yj1
aijxi1yj1
ij11
i1j1
即
fxya11a21x
a12ya22xy
a13y2

a23xy2
a1qyq1a2qxyq1
ai1xi1ai2xi1yai3xi1y2
aiqxi1yq1
ap1xp1ap2xp1yap3xp1y2
apqxp1yq1
设
x


1xx2


y


1yy2


A

a11

a21

a12a22
a1q
a2q


xpyq
ap1ap2
a
pq

则函数又可表示为fxyxTAy，拟合的目标就是求出系数矩阵A。
最小二乘法：
构造关于系数aij的多元函数：



pq
sa11apqgfxgygzg2g
aijxi1yj1zg2
g1
g1
i1j1
点（a11，…，apq）是多元函数sa11apq的极小点，其中g为权函数，默
认为1，所以点（a11，…，apq）必须满足方程组
s0aij
在g1的情况下，有
fs
aij
aij

fxgygzg2
g1


g1
2
f
xg
yg

zgaij

f
xg
yg



2
f
xg

yg


zg
xgi1
yj1g
g1


2

xi1g
yj1g
f
xg

yg


xi1g
ygj1zg

g1
因此可得



xi1g
yj1g
f
xg

yg


xi1g
yj1g
z
g
g1
g1


pq


xyi1j1gg
a
xg
1
y
g
1

xi1g
ygj
1
zg
g1
11
g1


pq


xyi1j1gg
axg1yg1
xi1g
ygj
1
zg
g1
11
g1
pq
a



xg
1
yg
1
xi1g
yj1g




xi1g
ygj1zg
11
g1
g1
令



uij

xg
1
yg
1
xi1g
ygj
1

，vi
j

xi1g
ygj
1
z
g
g1
g1
则
pq
auijvij
11
ij1，1…pq
上式实际共有pq个等式，可将这pq个等式写成矩阵的形式有：

u1111

u11pq
upq11


a11




v11

upqpqapqvpq
也就是UaV的形式，其中
U


u1111
u11pq
upq11

，a


a11


，V


v11

upqpq
apq
vpq
fU为pqpq阶矩阵，实现函数为fu
ctio
Aleftmatrixxpyq；V为长pq的列
向量，实现函数为fu
ctio
Brightmatrixxpyqz。这样就可以算出列矩阵a然后转化成A。
例子：
某地区有一煤矿，为估计其储量以便于开采，先在该地区进行勘探。假设
该地区是一长方形区域，长为4公里，宽为5公里。经勘探得到如下数据：
煤矿勘探数据表
编号
1
2
3
横坐标（公里）1
1
1
纵坐标（公里）1
2
3
煤层厚度（米）13722580847
4142527
5152232
6211547
7222133
8231449
9242483
10252619
编号横坐标（公里）纵坐标（公里）煤层厚度（米）
11312328
12322648
13332914
请你估计出此地区内（2x4
14341204
15351458
16411995
17422373
18431535
19441801
20451629
1r