若x1≠x2则有
①②③④⑤
y1y24px1x2y1y2
⑥
①×②得y12y2216p2x1x2③代入上式有y1y2－16p2⑥代入④，得
⑦⑧
x4py1y2y
⑥代入⑤，得
yy1yy14p2y1y2xx1yx14p
所以
4pyy14p2y1y24pxy1
即4px－y12yy1y2－y12－y1y2⑦、⑧代入上式，得x2y2－4px0x≠0当x1x2时，AB⊥x轴，易得M4p0仍满足方程故点M的轨迹方程为x2y2－4px0x≠0它表示以2p0为圆心，以2p为半径的圆，去掉坐标原点解法二：设Mxy，直线AB的方程为ykxbx由OM⊥AB，得k－y由y24px及ykxb，消去y得k2x22kb－4pxb20所以x1x2
b2消x得ky2－4py4pb0k2
f所以y1y2
4pb，由OA⊥OB，得y1y2－x1x2k
所以
4pkb2－2b－4kpkk
x代入，得x2y2－4px0x≠0y2故动点M的轨迹方程为xy2－4px0x≠0，它表示以2p0为圆心，2p为半径的圆，以去掉坐标原点［例3］某检验员通常用一个直径为2cm和一个直径为1cm的标准圆柱，检测一个直径为3cm的圆柱，为保证质量，有人建议再插入两个合适的同号标准圆柱，问这两个标准圆柱的直径为多少？命题意图：本题考查“定义法”求曲线的轨迹方程，及将实际问题转化为数学问题的能力，属★★★★★级题目知识依托：圆锥曲线的定义，求两曲线的交点错解分析：正确理解题意及正确地将此实际问题转化为数学问题是顺利解答此题的关键技巧与方法：研究所给圆柱的截面，建立恰当的坐标系，找到动圆圆心的轨迹方程解：设直径为321的三圆圆心分别为O、A、B，问题转化为求两等圆P、Q使它们与⊙O相内切，与⊙A、⊙B相外切建立如图所示的坐标系，并设⊙P的半径为r则PAPO1r15－r25∴点P在以A、O为焦点，长轴长25的椭圆上，其方程为
故ykxbkx－4p用k－
116x2242y1①253同理P也在以O、B为焦点，长轴长为2的椭圆上，其方程为14x－2y21②23
由①、②可解得P
91291239123Q，∴r2221414714141414
6cm7
故所求圆柱的直径为
●锦囊妙计求曲线的轨迹方程常采用的方法有直接法、定义法、代入法、参数法1直接法直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程2定义法若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义如椭圆、双曲线、抛物线、圆等，可用定义直接探求3相关点法根据相关点所满足的方程，通过转换而求动点的轨迹方程4参数法若动点的坐标xy中的xy分别随另一变量的变化而变化，我们可以以这个变量为参r