成角的余弦值．解析1延长AD、BE、CF相交于一点K，如图所示．
1114
f因为平面BCFE⊥平面ABC，且AC⊥BC，所以AC⊥平面BCK，因此BF⊥AC．
又因为EF∥BC，BE＝EF＝FC＝1，BC＝2，所以△BCK为等边三角形，且F为CK的
中点，则BF⊥CK
所以BF⊥平面ACFD．
2因为BF⊥平面ACK，所以∠BDF是直线BD与平面ACFD所成的角．
在Rt△BFD中，BF＝3，DF＝32，
∴BD＝DF2＋BF2＝221，
得cos∠BDF＝721，
所以直线BD与平面ACFD所成角的余弦值为
217
22．本小题满分12分如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，已知AB＝3，
AD＝2，PA＝2，PD＝22，∠PAB＝60°导学号
1求证：AD⊥平面PAB；2求异面直线PC与AD所成的角的正切值；3求二面角P－BD－A的正切值．解析1证明：在△PAD中，∵PA＝2，AD＝2，PD＝22，∴PA2＋AD2＝PD2，∴AD⊥PD．在矩形ABCD中，AD⊥AB．∵PA∩AB＝A，∴AD⊥平面PAB．2∵BC∥AD，∴∠PCB是异面直线PC与AD所成的角．
1214
f在△PAB中，由余弦定理得
PB＝PA2＋AB2－2PAABcos∠PAB＝7由1知AD⊥平面PAB，PB平面PAB，
∴AD⊥PB，∴BC⊥PB，
则△PBC是直角三角形，
故
ta
∠PCB＝BPCB＝
72
∴异面直线
PC
与
AD
所成的角的正切值为
72
3过点P作PH⊥AB于点H，过点H作HE⊥BD于点E，连结PE
∵AD⊥平面PAB，PH平面ABCD，∴AD⊥PH
又∵AD∩AB＝A，∴PH⊥平面ABCD．
又∵PH平面PHE，∴平面PHE⊥平面ABCD．
又∵平面PHE∩平面ABCD＝HE，BD⊥HE，
∴BD⊥平面PHE而PE平面PHE，∴BD⊥PE，
故∠PEH是二面角P－BD－A的平面角．
由题设可得，PH＝PAsi
60°＝3，
AH＝PAcos60°＝1，BH＝AB－AH＝2，
BD＝
AB2＋AD2＝
13，HE＝ABDDBH＝
4
13
∴在Rt△PHE中，ta
∠PEH＝PHHE＝
394
∴二面角P－BD－A的正切值为
394
1314
f1414
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