20042011年广东高考试题分类汇编
解析几何（解答题部分）
1、（2004年22题）设直线l与椭圆
x2y21相交于AB两点，l又与双曲线x2y21相交于C、D两点，2516
CD三等分线段AB，求直线l的方程．
解：首先讨论l不与x轴垂直时的情况，设直线l的方程为ykxb，如图所示，l与椭圆、双曲线的交点为：Ax1y1Bx2y2Cx3y3Dx4y4
yDA
依题意有ACDBAB3CD，由
B
lx
C
o



ykxb2222得1625kx2bkx25b4000xy212516
x1x2
由
……（1）
50bk1625k2
得1kx2bkxb10
222
ykxb
22xy1
……（2）
若k1，则与双曲线最多只有一个交点，不合题意，故k1
x3x4
2bk1k2
由ACDBx3x1x2x4x1x2x3x4


50bk2bkbk0k0或b021625k1k2
1
f516b2，由2得x34b214101616b26b21b由AB3CDx2x13x4x3，即41316故l的方程为y13
i当k0时，由1得x12ii当b0时，由1得x12
201625k2
，由2得x34
11k2k1625
由AB3CDx2x13x4x3即故l的方程为y


401625k
2

61k
2
16x25
再讨论l与x轴垂直的情况．设直线l的方程为xc分别代入椭圆和双曲线方程可解得，
425c2y34c215由AB3CDy2y13y4y3y12
即
82524125c26c21c524125241241
161625241x和x、y1325241
故l的方程为x
综上所述，故l的方程为y
2、（2005年17题）在平面直角坐标系xOy中，抛物线yx2上异于坐标原点O的两不同动点A、B满足AO⊥BO（如图4所示）（Ⅰ）求△AOB的重心G（即三角形三条中线的交点）的轨迹方程；（Ⅱ）△AOB的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由
2
fx1x2x3解：（I）设△AOB的重心为GxyAx1y1Bx2y2则yy1y23
∵OA⊥OB∴kOAkOB1即x1x2y1y21，……2
…（1）
22又点A，B在抛物线上，有y1x1y2x2，代入（2）化简得x1x21
∴y
y1y21211222x1x2x1x222x1x2r