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直线的参数方程
教学目的:使学生理解直线的参数方程的形式,了解其参数t的几何意义;会用直线的
参数方程解决一些问题。
一、问题情景
上节我们学习了曲线的参数方程,今天学习的直线的参数方程。
二、数学构建
【引例】求经过点M(x0y0,倾斜角为的直线l的
参数方程。分析:实际上是求直线上动点M的轨迹方程。
解:设M(xy是直线上任意一点,过点M作y轴的平
y
x
MM
行线,过点M0作x轴的平行线,两直线相交于点Q,规.定.直.线.l向.上.方.向.为.正.方.向.。.
当MM0与l同方向或M与M0重合时,因
o0
x
x
MM0MM0,由三角函数的定义,有M0QM0Mcos,QMM0Msi
当MM0与l反方向时,因MM0、M0Q、QM同时改变符号上式仍然成立。即有
M0QM0Mcos,QMM0Msi

设M0Mt,取t为参数,M0Q(xx0
xx0tcosyy0tsi



xy

x0y0
tt
cossi

t
为参数)
这就是所求的直线的参数方程。
QMyy0

注意:t表示定点M(X0,Y0)到相应动点Q(X,Y)有向线段MQ的数量。t表
示M、Q两点间的距离。三、知识运用
直线参数方程的应用:
1、t可以解决有关弦长问题
2、另
xy

x0atybt

a2

b2
1且b

0
时参数t
才有意义。
3、当0时,P在P0上方时,t0,P在P0下方时,t0,
P与P0重合时,t0;
当0时pp0方向与x轴正向相同时,t0;pp0方向与x轴正向相反时,
t0,P与P0重合时,t0;

90°时
xy

x0y0

tcost
tsi

为参数)可化为
x

x0
因此在使用时,不必
研究直线斜率不存在时的情况。
4、xy

x0y0

tcost
tsi

为参数)
不一定为直线的倾斜角,如
xy

3tcos200t
1tsi
200
为参数),倾斜角应为20°。
5、同一直线方程有多种表示方式,如:
fx1y2
222
tt
t
为参数)和
xy

1tt
2t
为参数)
2
表示同一条直线,但后者参数t没有几何意义。
xx0
5、对于

y

y0

a
t
a2b2t为参数)若ab同号,在第一象限;
bt
a2b2
若ab异号,在第二象限。b为正数
【例
1】
设直线的参数参数方程为
xy

53t104t
,(1)求直线的直角坐标方程;(2)
化上述参数方程为标准的参数方程①,指出两个方程中的参变量t的关系。
【例2】求直线l3x2y10分连结A(r
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