直线的参数方程
教学目的：使学生理解直线的参数方程的形式，了解其参数t的几何意义；会用直线的
参数方程解决一些问题。
一、问题情景
上节我们学习了曲线的参数方程，今天学习的直线的参数方程。
二、数学构建
【引例】求经过点M（x0y0，倾斜角为的直线l的
参数方程。分析：实际上是求直线上动点M的轨迹方程。
解：设M（xy是直线上任意一点，过点M作y轴的平
y
x
MM
行线，过点M0作x轴的平行线，两直线相交于点Q，规．定．直．线．l向．上．方．向．为．正．方．向．。．
当MM0与l同方向或M与M0重合时，因
o0
x
x
MM0MM0，由三角函数的定义，有M0QM0Mcos，QMM0Msi
当MM0与l反方向时，因MM0、M0Q、QM同时改变符号上式仍然成立。即有
M0QM0Mcos，QMM0Msi

设M0Mt，取t为参数，M0Q（xx0
xx0tcosyy0tsi

即

xy

x0y0
tt
cossi

t
为参数）
这就是所求的直线的参数方程。
QMyy0
①
注意：t表示定点M（X0，Y0）到相应动点Q（X，Y）有向线段MQ的数量。t表
示M、Q两点间的距离。三、知识运用
直线参数方程的应用：
1、t可以解决有关弦长问题
2、另
xy

x0atybt

a2

b2
1且b

0
时参数t
才有意义。
3、当0时，P在P0上方时，t0，P在P0下方时，t0，
P与P0重合时，t0；
当0时pp0方向与x轴正向相同时，t0；pp0方向与x轴正向相反时，
t0，P与P0重合时，t0；
当
90°时
xy

x0y0

tcost
tsi

为参数）可化为
x

x0
因此在使用时，不必
研究直线斜率不存在时的情况。
4、xy

x0y0

tcost
tsi

为参数）
不一定为直线的倾斜角，如
xy

3tcos200t
1tsi
200
为参数），倾斜角应为20°。
5、同一直线方程有多种表示方式，如：
fx1y2
222
tt
t
为参数）和
xy

1tt
2t
为参数）
2
表示同一条直线，但后者参数t没有几何意义。
xx0
5、对于

y

y0

a
t
a2b2t为参数）若ab同号，在第一象限；
bt
a2b2
若ab异号，在第二象限。b为正数
【例
1】
设直线的参数参数方程为
xy

53t104t
，（1）求直线的直角坐标方程；（2）
化上述参数方程为标准的参数方程①，指出两个方程中的参变量t的关系。
【例2】求直线l3x2y10分连结A（r