2019年全国初中数学联合竞赛试题及详解
第一试
一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1若abc均为整数且满足ab10ac101，则abbcca
（B）
A．1
B．2
C．3
D．4
解：
由已知可推得
aa

bc

01

b

c

1
或
aa

bc

10

b

c

1
，分别代入即得。
2．若实数abc满足等式2a3b6，4a9b6c，则c可能取的最大值为
A．0
B．1
C．2
D．3
（C）
解：由已知，6c4a9b22a3b15b1215b12，∴c2
3．若ab是两个正数，且a1b110则ba
A．0ab1B．1ab1C．1ab4D．4ab2
3
3
3
3
解：当ab时，可计算得ab2，从而ab4。观察4个选项，只能选C
3
3
（C）
4．若方程x23x10的两根也是方程x4ax2bxc0的根，则ab2c的值为（A）
A．－13
B．－9
C．6
D．0
解：由已知：x4ax2bxc一定能被x23x1整除。
∵x4ax2bxcx23x1x23xa103ab33xac10
∴
3a

b

33
x

a

c
10

0
，故
3ab330ac100

a

b

2c

13
5．在△ABC中，已知CAB60，D，E分别是边AB，AC上的点，且AED60，
EDDBCE，CDB2CDE则DCB
B
A．15°
B．20°C．25°
D．30°
解：如图，由已知，ADE是正三角形。作BF∥DE交
AC于F，则BD＝EF，从而EC＝DEBD＝AB＝BF，DE＝FC，
又∠1＝∠2＝120○，故ΔEDC≌ΔFCB故x
∵∠CDB＝2，∠BDE＝120○，∴40，故x40
由406020，得：x20
f6．对于自然数
，将其各位数字之和记为a
，如a2009200911，a201020103，
则a1a2a3a2009a2010
（D）
A．28062
B．28065C．28067
D．28068
解：将0，1，2，…，999这1000个自然数分为500个数组：（0，999）、（1，998）、
（2，997）、…、（499，500）注意到：这500个数组中，每个数组的两个自然数各位数字之和均为9＋9
＋9＝27，故0，1，2，…，999这1000个自然数各位数字之和等于2750013500
于是，1000，1001，1002，…，1999这1000个自然数各位数字之和等于13500＋1000
＝14500
从而a1a2a3a1999135001450028000
显然：a2000a2001a201068，故：a1a2a3a201028068
二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）
1．已知实数
x
y
满足方程组

x3

y3
19
则
x2

y2

13
。
xy1
解：
x3y319xy1

x2

x2

y2y2

xy192xy1

x2

y2
13
2．二次函数yx2bxc的图象与x轴正方向交于A，B两点，与y轴正方向交于点C．已知
AB3AC，CAO30，则c1．9
解：如图，由已知可推得：
OCc
OA
3c
，设Ax10

AB

2
3cr