微专题十立体几何中探索性问题的研究
追根溯源高考中的立体几何探索性试题，我们一般可以采用综合推理的方法、分析法、特殊化法
和向量法来解决．探索性问题主要是对平行、垂直关系的探究，这类试题的一般设问方式是“是否存在？
存在给出证明，不存在说明理由”．解决这类试题，一般根据探索性问题的设问，首先假设其存在，然后在这个假设下进行推理论证，如果通过推理得到了合乎情理的结论就肯定假设，如果得到了矛盾就否定假设．例题如图，在底面是菱形的四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝60°，PA＝AC＝a，PB＝PD＝2a，点E在PD上，且PE∶ED＝2∶1
1证明：PA⊥平面ABCD；2求以AC为棱，EAC与DAC为面的二面角的大小；3问：在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC证明你的结论．审题方法F是线段PC上的点，一般可设P→F＝λP→C，求出λ的值，点P是已知的，即可求出点F解题思路1证明的是线面垂直，只要努力去找直线与平面内的两条相交直线垂直即可；2按找二面角的方法进行；3通过建立恰当的直角坐标系，给出相应点的坐标，利用坐标关系和向量的相等就可以解决了．
1证明因为底面ABCD是菱形，∠ABC＝60°，所以AB＝AD＝AC＝a，在△PAB中，由PA2＋AB2＝2a2＝PB2，知PA⊥AB，同理PA⊥AD，所以PA⊥平面ABCD2解如图1所示，作EG∥PA交AD于G，由PA⊥平面ABCD，知EG⊥平面ABCD，作GH⊥AC于H，连接EH，则EH⊥AC，则∠EHG为所求二面角的平面角，设为θ又PE∶ED＝2∶1，
图1
1
f则EG＝13a，AG＝23a，GH＝AGsi
60°＝33a，从而ta
θ＝GEGH＝33，所以θ＝30°
3解以A为坐标原点，直线AD，AP分别为y轴，z轴，过A点垂直平面PAD的直线为x轴，建立空间直角坐标系，如图2所示．由题设条件，相关各点的坐标分别为A0，0，0，
B23a，－21a，0，C23a，12a，0，D0，a，0，P0，0，a，E0，23a，13a
图2
所以A→E＝0，23a，13a，A→P＝0，0，a，A→C＝23a，12a，0，P→C＝23a，12a，－a，B→P＝－23a，21a，a
设F是棱PC上的点，且P→F＝λP→C
＝23aλ，12aλ，－aλ，其中0λ1，则
B→F＝B→P＋P→F
＝－23a，21a，a＋23aλ，12aλ，－aλ＝23aλ－1，21a1＋λ，a1－λ
令B→F＝λ1A→C＋λ2A→E，得：
23aλ－1＝23aλ1，12aλ＋1＝12aλ1＋23aλ2，a1－λ＝13aλ2，
解得λ＝12，λ1＝－12，λ2＝32，即λ＝12时，B→F＝－12A→C＋32A→E，即F是PC的中点时，B→F，A→C，A→E共面．又BF不
2
f在平面AECr