3．12
共面向量定理
学习目标1了解共面向量等概念2理解空间向量共面的充要条件．
知识链接1．空间两向量共线，一定共面吗？反之还成立吗？答：一定共面，反之不成立．2．空间共面向量定理与平面向量基本定理有何关系？答：空间共面向量定理中，当向量a，b是平面向量时，即为平面向量基本定理．预习导引1．共面向量能平移到同一平面内的向量叫做共面向量．2．共面向量定理如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在有序实数组x，y，使得p＝xa＋yb，即向量p可以由两个不共线的向量a，b线性表示．3．空间四点共面的条件→→→若空间任意无三点共线的四点，对于空间任一点O，存在实数x、y、z使得OA＝xOB＋yOC＋→zOD，且x、y、z满足x＋y＋z＝1，则A、B、C、D共面．
要点一应用共面向量定理证明点共面→1→1→1→例1已知A、B、C三点不共线，平面ABC外的一点M满足OM＝OA＋OB＋OC333→→→1判断MA、MB、MC三个向量是否共面；2判断点M是否在平面ABC内．→→→→解1∵OA＋OB＋OC＝3OM，→→→→→→∴OA－OM＝OM－OB＋OM－OC．→→→→→∴MA＝BM＋CM＝－MB－MC→→又MB与MC不共线．
f→→→∴向量MA、MB、MC共面．→→→2∵向量MA、MB、MC共面且具有公共起点M，∴M、A、B、C共面．即点M在平面ABC内．规律方法利用共面向量定理证明四点共面时，通常构造有公共起点的三个向量，用其中的
两个向量线性表示另一个向量，得到向量共面，即四点共面．→→→跟踪演练1已知两个非零向量e1、e2不共线，如果AB＝e1＋e2，AC＝2e1＋8e2，AD＝3e1－3e2，求证：A、B、C、D共面．→→→→1→→1→1→→→证明∵AD＋AC＝5e1＋5e2＝5AB，∴AB＝AD＋AC＝AD＋AC，又AD与AC不共线．555→→→∴AB、AD、AC共面，又它们有一个公共起点A∴A、B、C、D四点共面．要点二应用共面向量定理证明线面平行例2如图，在底面为正三角形的斜棱柱ABCA1B1C1中，D为AC的中点，求证：AB1∥平面C1BD→→→证明记AB＝a，AC＝b，AA1＝c，则1→→→→AB1＝a＋c，DB＝AB－AD＝a－b，2→→→1DC1＝DC＋CC1＝b＋c，2→→→→→所以DB＋DC1＝a＋c＝AB1，又DB与DC1不共线，→→→所以AB1，DB，DC1共面．又由于AB1不在平面C1BD内，所以AB1∥平面C1BD规律方法在空间证明线面平行的又一方法是应用共面向量定理进行转化．要熟悉其证明过
程和证明步骤．→→→跟踪演练2如图所示，已知斜三棱柱ABCA1B1C1，设AB＝a，AC＝b，AA1＝c，在面对角r