别为DC，BC的中点，已知AM
→
→→
＝c，AN＝d，试用c，d表示AB，AD
→
→
解法一设AB＝a，AD＝b，
则a＝A→N＋N→B＝d＋－12b，①
b＝A→M＋M→D＝c＋－12a②
将②代入①，得a＝d＋－12c＋－12a，
∴a＝43d－23c＝232d－c，③
将③代入②，得b＝c＋－12×232d－c＝232c－d．
∴A→B＝232d－c，A→D＝232c－d．
→
→
法二设AB＝a，AD＝b
因M，N分别为CD，BC的中点，
所以B→N＝12b，D→M＝12a，
c＝b＋12a，因而d＝a＋12b
a＝232d－c，b＝232c－d，
即A→B＝232d－c，A→D＝232c－d．
规律方法1应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或
三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．
f2用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将
条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．
【训练1】在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为CD，BC的中
→→→点，若AB＝λAM＋μAN，则λ＋μ＝．
1
2
3
4
A5
B5
C5
D5
→→→→→→→→→→→→解析因为AB＝AN＋NB＝AN＋CN＝AN＋CA＋AN＝2AN＋CM＋MA＝2AN－
14A→B－A→M，所以A→B＝85A→N－45A→M，所以λ＋μ＝45
答案D
考点二平面向量的坐标运算
→
→
→
【例2】已知A－24，B3，－1，C－3，－4，设AB＝a，BC＝b，CA＝c，
→
→
且CM＝3c，CN＝－2b
1求3a＋b－3c；
2求满足a＝mb＋
c的实数m，
；
→3求M，N的坐标及向量MN的坐标．
解由已知得a＝5，－5，b＝－6，－3，c＝18．
13a＋b－3c＝35，－5＋－6，－3－318＝15－6－3，－15－3－24＝6，
－42．
2∵mb＋
c＝－6m＋
，－3m＋8
＝5，－5，
∴－－63mm＋＋
8＝
＝5，－5，解得m
＝＝－－11，
→→→3设O为坐标原点，∵CM＝OM－OC＝3c，
→
→
∴OM＝3c＋OC＝324＋－3，－4＝020，
∴M的坐标为020．
f→→→又CN＝ON－OC＝－2b，
→
→
∴ON＝－2b＋OC＝126＋－3，－4＝92，
∴N的坐标为92，
→∴MN＝9－02－20＝9，－18．
规律方法向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行的．若已知有
向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运
用及运算法则的正确使用．
【训练
2】
1已知平面向量
a
＝
11
，
b
＝
1
，
－
1
，
则
向
量
12
a
－
32
b
＝
．
A．－2，－1B．－21C．－10D．－12
学生用书第72页
→
→
→
2在平行四边r