点到平面距离的若干求法
1定义法求点到平面距离直接法定义法求点到平面距离是根据点到平面的定义直接作出或者寻找出点与平面间的垂线段，进而根据平面几何的知识计算垂线段长度而求得点与平面距离的一种常用方法。定义法求点到平面距离的关键在于找出或作出垂线段，而垂线段是由所给点及其在平面射影间线段，应而这种方法往往在很多时候需要找出或作出点在平面的射影。以下几条结论常常作为寻找射影点的依据1两平面垂直的性质定理如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们交线的直线垂直于另一个平面。2如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这个点在该平面内的射影在这个角的角平分线所在的直线上。3经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜线。设斜线和已知两边的夹角为锐角且相等，则这条斜线在这个平面的射影是这个角的角平分线。4若三棱锥的三条棱长相等，则顶点在底面上的射影是底面三角形的外心。例如图4所示，所示的正方体ABCDABCD棱长为a，求点A到平面ABD的距离。注本文所有解法均使用本例
图4解法一定义法如图5所示，连结交BD于点E，再连结AE，过点A作AH垂直于AE，垂足为H，下面证明AH平面ABD。
1
f图5
AA平面ABCDBDAA
又在正方形ABCD中，对角线BDAC，且AAACA
AA平面AAEAC平面AAE
由线面垂直的判定定理知道BD平面AAEAH平面AAEAHBD
又由AH的作法知道AHAE，且有BDAEE，
BD平面ABD，AE平面ABD
由线面垂直的判定定理知道AH平面ABD
根据点到平面距离定义，AH的长度即为点A到平面ABD的距离，下面求AH的长度。
ABD中，容易得到ABBDDA
2a，从而ABD为正三角形，ABD60。
0
进而在RtABE中，AEABsi
ABD由SAAE
12AAAE12AEAH得到
2asi
60
0
62
a。
AH
AAAEAE
AA
1
AC
a
1262
2
2AE
33
a
从而A到平面ABD的距离为32转化法求点到平面距离
33
a。
有时候限于几何体的形状，不易直接寻找出点在平面的射影，或者由直接法作出的射影线段在所给r