专题九
思想方法专题
第四讲
化归与转化思想
解决数学问题时,常遇到一些直接求解较为困难的问题,通过观察、分析、类比、联想等思维过程,选择运用恰当的数学方法进行变换,将原问题转化为一个新问题相对来说,是自己较熟悉的问题,通过新问题的求解,达到解决原问题的目的,这一思想方法我们称之为“化归与转化的思想方法”.
化归与转化思想的实质是揭示联系,实现转化.除极简单的数学问题外,每个数学问题的解决都是通过转化为已知的问题实现的.从这个意义上讲,解决数学问题就是从未知向已知转化的过程.化归与转化思想是解决数学问题的根本思想,解题的过程实际上就是一步步转化的过程.数学中的转化比比皆是,如未知向已知转化,复杂问题向简单问题转化,新知识向旧知识的转化,命题之间的转化,数与形的转化,空间向平面的转化,高维向低维的转化,多元向一元的转化,高次向低次的转化,超越式向代数式的转化,函数与方程的转化等,都是转化思想的体现.
1
f转化有等价转化和非等价转化之分.等价转化前后是充要条件,所以尽可能使转化具有等价性;在不得已的情况下,进行不等价转化,应附加限制条件,以保持等价性,或对所得结论进行必要的验证.
判断下面结论是否正确请在括号中打“√”或“×”.11函数y=x+的最小值是2×x
a+b2成立的条件是ab0×2ab≤2
3函数fx=cosx+
π4,x∈0,的最小值等于4×cosx2
4目标函数z=ax+byb≠0中,z的几何意义是直线ax+by-z=0在y轴上的截距.×
1.若动直线x=a与函数fx=si
x和gx=cosx的图象分别
2
f交于M,N两点,则MN的最大值为BA.1B2C3
D.2π,最大值为24
解析:MN=si
x-cosx=2si
x-
2.下图所示的韦恩图中,A,B是非空集合,定义集合AB为阴影部分表示的集合.若x,y∈R,A=xy=2x-x2,B=yy=3xx>0,则AB为D
A.x0<x<2C.x0≤x≤1或x≥2
B.x1<x≤2D.x0≤x≤1或x>2
解析:A=xy=2x-x2=x2x-x2≥0=x0≤x≤2,B=yy=3xx>0=yy>1,则A∪B=xx≥0,A∩B=x1<x≤2.根据新运算,得AB=A∪BA∩B=x0≤x≤1或x>2.
a,a≤b,53.定义一种运算ab=令fx=cos2x+si
x,且4b,a>b,
x∈0,
ππ,则函数fx-的最大值是A22
55AB.1C.-1D.-44
15解析:设y=cos2x+si
xr