专题九
思想方法专题
第四讲
化归与转化思想
解决数学问题时，常遇到一些直接求解较为困难的问题，通过观察、分析、类比、联想等思维过程，选择运用恰当的数学方法进行变换，将原问题转化为一个新问题相对来说，是自己较熟悉的问题，通过新问题的求解，达到解决原问题的目的，这一思想方法我们称之为“化归与转化的思想方法”．
化归与转化思想的实质是揭示联系，实现转化．除极简单的数学问题外，每个数学问题的解决都是通过转化为已知的问题实现的．从这个意义上讲，解决数学问题就是从未知向已知转化的过程．化归与转化思想是解决数学问题的根本思想，解题的过程实际上就是一步步转化的过程．数学中的转化比比皆是，如未知向已知转化，复杂问题向简单问题转化，新知识向旧知识的转化，命题之间的转化，数与形的转化，空间向平面的转化，高维向低维的转化，多元向一元的转化，高次向低次的转化，超越式向代数式的转化，函数与方程的转化等，都是转化思想的体现．
1
f转化有等价转化和非等价转化之分．等价转化前后是充要条件，所以尽可能使转化具有等价性；在不得已的情况下，进行不等价转化，应附加限制条件，以保持等价性，或对所得结论进行必要的验证．
判断下面结论是否正确请在括号中打“√”或“×”．11函数y＝x＋的最小值是2×x
a＋b2成立的条件是ab0×2ab≤2
3函数fx＝cosx＋
π4，x∈0，的最小值等于4×cosx2
4目标函数z＝ax＋byb≠0中，z的几何意义是直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距．×
1．若动直线x＝a与函数fx＝si
x和gx＝cosx的图象分别
2
f交于M，N两点，则MN的最大值为BA．1B2C3

D．2π，最大值为24
解析：MN＝si
x－cosx＝2si
x－
2．下图所示的韦恩图中，A，B是非空集合，定义集合AB为阴影部分表示的集合．若x，y∈R，A＝xy＝2x－x2，B＝yy＝3xx＞0，则AB为D
A．x0＜x＜2C．x0≤x≤1或x≥2
B．x1＜x≤2D．x0≤x≤1或x＞2
解析：A＝xy＝2x－x2＝x2x－x2≥0＝x0≤x≤2，B＝yy＝3xx＞0＝yy＞1，则A∪B＝xx≥0，A∩B＝x1＜x≤2．根据新运算，得AB＝A∪BA∩B＝x0≤x≤1或x＞2．
a，a≤b，53．定义一种运算ab＝令fx＝cos2x＋si
x，且4b，a＞b，
x∈0，


ππ，则函数fx－的最大值是A22
55AB．1C．－1D．－44
15解析：设y＝cos2x＋si
xr