82双曲线
●知识梳理
定义
1到两个定点F1与F2的距离之差的绝对值等于定长（＜F1F2）的点的轨迹2到定点F与到定直线l的距离之比等于常数e（＞1）的点的轨迹
方程
x2y2
1
a2
－
b2
1，c
a2b2，焦点是F1（－c，0），F2（c，0）
2y2－x21，ca2b2
a2b2，焦点是F1（0，－c）、F2（0，c）
H：x2－y21（a＞0，b＞0）a2b2
1范围：x≥a，y∈R
2对称性：关于x、y轴均对称，关于原点中心对称
3顶点：轴端点A1（－a，0），A2（a，0）
4渐近线：ybx，y－bx
a
a
性质
5离心率：ec∈（1，∞）a
6准线：l1：x－
a2c
，l2：x
a2c
7焦半径：P（x，y）∈H，
P在右支上，
r1PF1exa，r2PF2ex－a；P在左支上，
r1PF1－（exa），r2PF2－（ex－a）
思考讨论
对于焦点在y轴上的双曲线y2－x21（a＞0，b＞0），其性质如何？焦半径公式如何a2b2
推导？
●点击双基
1（2004年春季北京）双曲线x2－y21的渐近线方程是49
Ay±3x2
By±2x3
Cy±9x4
Dy±4x9
解析：由双曲线方程可得焦点在x轴上，a2，b3∴渐近线方程为y±bx±3xa2
f答案：A
2过点（2，－2）且与双曲线x2－y21有公共渐近线的双曲线方程是2
Ay2－x2124
x2B
－
y2
1
42
Cy2－x2142
x2D
－
y2
1
24
解析：可设所求双曲线方程为x2－y2λ，把（2，－2）点坐标代入方程得λ－22
答案：A
3如果双曲线x2－y2＝1上一点P到它的右焦点的距离是8，那么P到它的右准线距6436
离是
A10
B327
C27
32D
7
5
解析：利用双曲线的第二定义知P到右准线的距离为88×
8
32
e105
答案：D
4已知圆C过双曲线x2－y21的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆916
心到双曲线中心的距离是____________
解析：由双曲线的几何性质易知圆C过双曲线同一支上的顶点和焦点，所以圆C的圆
心的横坐标为4故圆心坐标为（4，±47）易求它到中心的距离为16
3
3
答案：163
5求与圆A：（x5）2y249和圆B：（x－5）2y21都外切的圆的圆心P的轨迹方程为
________________解析：利用双曲线的定义答案：x2－y21（x＞0）916●典例剖析【例1】根据下列条件，求双曲线方程：（1）与双曲线x2－y21有共同的渐近线，且过点（－3，2916（2）与双曲线x2－y21有公共焦点，且过点（32，2）164
3）；
剖析：设双曲线方程为x2－y21，求双曲线方程，即求a、b，为此需要关于a、ba2b2
的两个方程，由题意易得关于a、b的两个方程
解法一：（1）设双曲线的方程为x2－y21，a2b2
f由r