用向量法求空间角与距离
1基本概念：
11向量的数量积和坐标运算ab是两个非零向量，它们的夹角为，则数abcos叫做a与b的数量积（或内积），记作ab，即ababcos其几何意义是a的长度与b在a的方向上的投影的乘积其坐标运算是：若ax1y1z1bx2y2z2，则
①abx1x2y1y2z1z2；
②ax1y1z1bx2y2z2；
222222
③abx1x2y1y2z1z2
④cosab
x1x2y1y2z1z2x1y1z1x2y2z2
222222
12异面直线m
所成的角
分别在直线m
上取定向量ab则异面直线m
所成的角等于向量ab所成的角或其补角（如图1所示），
ab（例如2004年高考数学广东卷第18则cosab
Ca
A

m
bB

D
图1
题第（2）问）13异面直线m、的距离
分别在直线m、上取定向量ab求与向量a、b都垂直的

向量
，分别在m、上各取一个定点A、B，则异面直线m、的距离d等于AB在

上的射影长，即d
AB


1
f证明：设CD为公垂线段，取CAaDBb（如图1所示），则
CDCAABBDCD
CAABBD
CD
AB
dCDAB

ab设直线m
所成的角为，显然cosab
L
14直线L与平面所成的角在L上取定AB，求平面的法向量
（如图2所示），再求cos
AB
AB

B
A



图2
，则

2
为所求的角
15．二面角方法一：构造二面角l的两个半平面、的法向
量
1、2（都取向上的方向，如图3所示），则

l

1

2

①
若二面角l是“钝角型”的如图3甲所示，那
么其大小等于两法向量
1、2的夹角的补角，即cos
1
2
图3甲

1
2
（例
如2004年高考数学广东卷第18题第（1）问）②若二面角l是“锐角型”的如图3乙所示，
那么其大小等于两法向量
1、2的夹角，即
cos
1
2
1
2（例如2004年高考数学广东卷第
2

1

l
图3乙
18题第（1）问）方法二：在二面角的棱l上确定两个点A、B，过A、B分别在平面、内
求出与l垂直的向量
1、2（如图4所示），则二面角

2
2
BlA
图4

1

f
l的大小等于向r