88立体几何中的向量方法（Ⅱ）求空间角、距离
一、选择题1．如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1上的动点，则直线NO、AM的位置关系是．
A．平行
B．相交
C．异面垂直
D．异面不垂直
解析建立坐标系如图，设正方体的棱长为2，
则A200，M001，
→O110，N2，t2，NO＝－11－t，－2，
→
→→
AM＝－201，NOAM＝0，则直线NO、AM的
位置关系是异面垂直．
答案C
2．正方体
ABCDA1B1C1D1
的棱长为
a，点
M
在
AC1
上且A→M＝12M→C1，N
为
B1B
→的中点，则MN为
．
A621a
B66a
C615a
D315a
解析以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则Aa00，C10，a，a，Na，a，a2
设Mx，y，z，∵点M在AC1上且A→M＝12M→C1，
∴x－a，y，z＝12－x，a－y，a－z
∴x＝23a，y＝a3，z＝a3得M23a，a3，a3，
→∴MN＝
a－23a2＋a－a32＋a2－a32＝621a
答案A
f→→3．在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别为棱AA1和BB1的中点，则si
〈CM，D1N〉的值为．
A19
B495
C295
D23
解析设正方体的棱长为2，以D为坐标原点，
DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴建立空间直角
→
→
坐标系如图，可知CM＝2，－21，D1N＝22，－1，
cos〈C→M，D→1N〉＝－19，si
〈C→M，D→1N〉＝4
9
5，
答案B
4．两平行平面α，β分别经过坐标原点O和点A211，且两平面的一个法向量
＝－101，则两平面间的距离是
A32
B
22
C3
D．32
解析
两平面的一个单位法向量

0＝－
22，0，
22，故两平面间的距离
d＝O→A
0＝
22
答案B
5．已知直二面角αlβ，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，点B∈β，BD⊥l，D为垂足，若AB＝2，AC
＝BD＝1，则CD＝．
A．2
B3
C2
解析如图，建立直角坐标系Dxyz，由已
D．1
知条件B001，A1，t0t＞0，由AB＝2解得t＝2
答案C
6．正方体ABCDA1B1C1D1中，E是棱BB1中点，G是DD1中点，F是BC上一点且FB＝14BC，则GB与EF所
成的角为．
A．30°
B．120°
解析如图建立直角坐标系Dxyz，
设DA＝1，由已知条件
C．60°
D．90°
G0，0，12，B1，1，0，E1，1，12，F34，1，0，
G→B＝1，1，－12，E→F＝－14，0，－12
f→→cos〈GB，EF〉＝
→→GBEF→→
→→＝0，则GB⊥EF
GBEF
答案D
7．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，2AC＝AA1＝BC＝2若二面角B1－DC－C1的大小为60°，则AD的r